若四个数成等差数列,若顺次加上1,1,3,9后成等比数列,则成等比数列的4个数之和是是多少求详解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 18:29:19
若四个数成等差数列,若顺次加上1,1,3,9后成等比数列,则成等比数列的4个数之和是是多少求详解
若四个数成等差数列,若顺次加上1,1,3,9后成等比数列,则成等比数列的4个数之和是是多少
求详解
若四个数成等差数列,若顺次加上1,1,3,9后成等比数列,则成等比数列的4个数之和是是多少求详解
设成等比数列的4个数依次为a,aq,aq²,aq³ (a≠0,q≠0),则原4个数分别为a-1,aq-1,aq²-3,aq³-9
原4个数成等差数列,则
2(aq-1)=(a-1)+(aq²-3)
2(aq²-3)=(aq-1)+(aq³-9)
整理,得
2aq=a+aq²-2 (1)
2aq²=aq+aq³-4 (2)
(1)×q-(2)
-2q+4=0 2q=4
q=2,代入(1)
4a=a+4a-2
a-2=0 a=2
aq=2×2=4 aq²=2×2²=8 aq³=2×2³=16
这4个数分别为2,4,8,16
2+4+8+16=30
既然已经知道了首项和公比,也可以不求4个数,直接求和：
4个数之和=2×(2⁴-1)/(2-1)=30
设四个数为a，a+d，a+2d，a+3d
a+1，a+1+d，a+3+2d，a+9+3d成等比数列
令t=a+1
t, t+d, t+2+2d, t+8+3d成等比数列
(t+d)/t=(t+2+2d)/(t+d)=(t+8+3d)/(t+2+2d)
=(3t+10+6d)/(3t+2+3d)
3t^2+10t+6td=3t^2+2t+3td+3td...
全部展开
设四个数为a，a+d，a+2d，a+3d
a+1，a+1+d，a+3+2d，a+9+3d成等比数列
令t=a+1
t, t+d, t+2+2d, t+8+3d成等比数列
(t+d)/t=(t+2+2d)/(t+d)=(t+8+3d)/(t+2+2d)
=(3t+10+6d)/(3t+2+3d)
3t^2+10t+6td=3t^2+2t+3td+3td+2d+3d^2
t^2+2td+d^2=t^2+2t+2td
2d+3d^2=8t
2t=d^2
2d+3d^2=4d^2
d=0, 或d=2
d=0，t=0，不合题意，舍去。
d=2，t=2，a=t-1=1
四个数为1，3，5，7
四个数的和=4a+6d=16.
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