已知；重心是三角形三条中线的交点,求证：重心和三个顶点的连线将三角形的面积三等分
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/30 12:46:44
已知；重心是三角形三条中线的交点,求证：重心和三个顶点的连线将三角形的面积三等分
已知；重心是三角形三条中线的交点,求证：重心和三个顶点的连线将三角形的面积三等分
已知；重心是三角形三条中线的交点,求证：重心和三个顶点的连线将三角形的面积三等分
如图：O是重心,
首先要说明的一点是：
由于O点是三角形1和2的共同顶点,所以O点到AB间的高应该是三角形1和2的AF和BF上的高,即同顶点上三角形底边上的高是相同的
证明：由于AF=BF,所以S1=S2（底边上的高相同）,S1+S4+S5=S2+S3+S6；
因而得S3+S6=S4+S5
又因AE=EC,所以S4=S5,同理可得S1+S2=S3+S6
故：S1+S2=S3+S6=S4+S5
故重心和三个顶点的连线将三角形的面积三等分
不画图解法：
首先要知道重心距顶点的距离是重心距顶点对应边的中点距离的两倍，所以由重心与对应边组成的小三角形的高是整个三角形高的三分之一，因此在同底的情况下，面积也是整个三角形的三分之一；其余的小三角形面积按照同理也都是整个三角形面积的三分之一，所以说重心和三个顶点的连线将三角形的面积三等分。...
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不画图解法：
首先要知道重心距顶点的距离是重心距顶点对应边的中点距离的两倍，所以由重心与对应边组成的小三角形的高是整个三角形高的三分之一，因此在同底的情况下，面积也是整个三角形的三分之一；其余的小三角形面积按照同理也都是整个三角形面积的三分之一，所以说重心和三个顶点的连线将三角形的面积三等分。
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证明：△ABC中，AD,BE,CF分别为三条中线，交点为O
∵S△ABD=S△BCF=1/2S△ABC
∴S△AOF=S△COD
∵AF=BF,BD=CD
∴S△AOF=S△BOF,S△COD=S△BOD
∵S△AOF=S△COD
∴S△AOF+S△BOF=S△COD+S△BOD即S△AOB=S△BOC
同理S△AOC=S△BOC
∴...
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证明：△ABC中，AD,BE,CF分别为三条中线，交点为O
∵S△ABD=S△BCF=1/2S△ABC
∴S△AOF=S△COD
∵AF=BF,BD=CD
∴S△AOF=S△BOF,S△COD=S△BOD
∵S△AOF=S△COD
∴S△AOF+S△BOF=S△COD+S△BOD即S△AOB=S△BOC
同理S△AOC=S△BOC
∴ 重心和三个顶点的连线将三角形的面积三等分
一定要画图。。。
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