初三一元二次方程题求解若a,b,c为不相等的实数,证明三个二次方程ax²＋2bx+c=0,bx²+2cx+a=0,cx²+2ax+b=0不可能都有两相等的实数根.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 21:10:27
初三一元二次方程题求解若a,b,c为不相等的实数,证明三个二次方程ax²＋2bx+c=0,bx²+2cx+a=0,cx²+2ax+b=0不可能都有两相等的实数根.
初三一元二次方程题求解
若a,b,c为不相等的实数,证明三个二次方程ax²＋2bx+c=0,bx²+2cx+a=0,cx²+2ax+b=0不可能都有两相等的实数根.
初三一元二次方程题求解若a,b,c为不相等的实数,证明三个二次方程ax²＋2bx+c=0,bx²+2cx+a=0,cx²+2ax+b=0不可能都有两相等的实数根.
方程1：ax²+2bx+c=0的判别式△1=4b^2-4ac=4(b^2-ac),
方程2：bx²+2cx+a=0的判别式△2=4c^2-4ba=4(c^2-ba),
方程3：cx²+2ax+b=0的判别式△3=4a^2-4cb=4(a^2-cb),
假设三个方程均有两相等的实数根,则：
△1=△2=△3=0,
——》b^2-ac=c^2-ba=a^2-cb=0,
——》a=b=c,
与已知条件a,b,c为不相等的实数相矛盾,
——》假设不成立,
即三个方程不可能都有两相等的实数根,命题得证.
证：
假设：三个方程都有两相等的实根。
由：ax²＋2bx+c=0，
有：4b²-4ac=0…………………………(1)
由：bx²+2cx+a=0，
有：4c²-4ab=0…………………………(2)
由：cx²+2ax+b=0，
有：4a²-4bc=0…………………………(3)
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证：
假设：三个方程都有两相等的实根。
由：ax²＋2bx+c=0，
有：4b²-4ac=0…………………………(1)
由：bx²+2cx+a=0，
有：4c²-4ab=0…………………………(2)
由：cx²+2ax+b=0，
有：4a²-4bc=0…………………………(3)
(1)+(2)+(3)，得：
4(a²+b²+c²)-4(ab+bc+ac)=0
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
有：a-b=0、b-c=0、a-c=0
解得：a=b=c
与已知a、b、c互不相等，相矛盾。
故：假设不成立。
即：三个二次方程ax²＋2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0不可能都有两相等的实数根。
证毕。
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