高二数学几何证明题!急急急在三角形abc中,三条边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且a,b,c成等比数列,A,B,C成等差数列,证明三角形ABC是正三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 13:46:15
高二数学几何证明题!急急急在三角形abc中,三条边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且a,b,c成等比数列,A,B,C成等差数列,证明三角形ABC是正三角形
高二数学几何证明题!急急急
在三角形abc中,三条边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且a,b,c成等比数列,A,B,C成等差数列,证明三角形ABC是正三角形
高二数学几何证明题!急急急在三角形abc中,三条边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且a,b,c成等比数列,A,B,C成等差数列,证明三角形ABC是正三角形
证明：
A,B,C成等差数列
∴ 2B=A+C
∴ 3B=A+B+C=180°
∴ B=60°.①
a,b,c成等比数列
∴ b²=ac
利用余弦定理
b²=a²+c²-2accosB
∴ ac=a²+c²-ac
∴ a²+c²-2ac=0
即 (a-c)²=0
∴ a=c ②
由①②,三角形ABC是等边三角形.（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
A,B,C成等差数列
于是有A+C=2B
又因为A+B+C=π
解得B=π/3
又因为a,b,c成等比数列
于是有ac=b^2
根据正玄定理有
sinAsinC=3/4
再带入A+C=2B=2π/3
解得A=C=π/3
所以三角形ABC是正三角形
如有疑问请追问
满意请采纳
如有其它问题请采纳此...
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A,B,C成等差数列
于是有A+C=2B
又因为A+B+C=π
解得B=π/3
又因为a,b,c成等比数列
于是有ac=b^2
根据正玄定理有
sinAsinC=3/4
再带入A+C=2B=2π/3
解得A=C=π/3
所以三角形ABC是正三角形
如有疑问请追问
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证明：
由A，B，C成等差数列，有2B=A+C， ①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π， ②
由①②得，B=π/3， ③
由a，b，c成等比数列，有b^2=ac， ...
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证明：
由A，B，C成等差数列，有2B=A+C， ①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π， ②
由①②得，B=π/3， ③
由a，b，c成等比数列，有b^2=ac， ④
由余弦定理及③，可得b^2=a^2+c^2-2accosB=a^2+c^2-ac，
再由④，得a^2+c^2-ac=ac，
即(a-c)^2=0，因此a=c，
从而A=C， ⑤
由②③⑤，得A=B=C=π/3，
所以△ABC为等边三角形。
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ABC是等差数列，可以确定B是60度。a,b,c等比，bb = ac
或者你可以反证法，假设不是正三角形，用那个边和角的关系那公式，我忘记了，可以证出矛盾的
因为ABC成等差数列，所以B=60°
因为abc成等差数列，所以b^2=ac
有由正玄定理可得：(sinB)^2=3/4=sinA*sinC=[cos(A-C)-cos(A+C)]/2=[cos(A-C)+1/2]/2
所以cos(A-C)=1
所以A=C
所以A=C=B,即三角形ABC为正三角形