如图,P为正方形ABCD外一点,且∠PAD=∠OBC=15°求证：△PDC为等边三角形

如图,P为正方形ABCD外一点,且∠PAD=∠OBC=15°求证：△PDC为等边三角形
如图,P为正方形ABCD外一点,且∠PAD=∠OBC=15°求证：△PDC为等边三角形

如图,P为正方形ABCD外一点,且∠PAD=∠OBC=15°求证：△PDC为等边三角形
在正方形内做一个以AB为边长的正三角形ABM
连接MD、MC、MP,MD与PA交于E,MC与PB交于F
∵△ABM是正三角形
∴∠MAB=MBA=60°
AB=AM=AD=BM=BC
∴△ADM和△BCM是等腰三角形
∵ABCD是正方形
∴∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°
∵∠PAD=15°
∴∠PAM=∠DAM-∠PDA-∠MAB=90°-15°-60°=15°
在等腰三角形ADM中
∠PAD=∠EAD=∠PAM=∠EAM=15°
∴AE是MD的高、中线
即AE(PA)⊥MD,DE=EM……（1）
∵∠PAD=∠PBC=15°
∴∠PAB=∠PBA=75°
∴PA=PB
在△AMP和△BMP中
PA=PB
AM=BM
PM=PM
∴△AMP≌△BMP
∴∠APM=∠BPM=1/2∠APB=1/2(180°-∠PAB-∠PBA)=1/2(180°-75°-75°)=15°
∵∠PAM=15°
∴∠PAM=∠APM
∴△APM是等腰三角形
∵DM⊥PA
∴EM是PA的中线
∴AE=PE……（2）
∴DAMP是菱形（对角线相互垂直平分）
∴PD=AD=DC
同理MBCP是菱形
∴PC=BC=DC
∴PD=PC=DC
∴△PDC为等边三角形

证明：
不知道你是高中还是初中，
∠PAD=∠PBC=15º，
那么，∠PAB=∠PBA=75º，
故，PA=PB，
又，AD=BC，
因此，S△PAD≌S△PCB，
即，PC=PD
设边长为a，AB=AD=a，∠APB=30º
那么，PA=a/(2sin15º)
根据余玄定理，...

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证明：
不知道你是高中还是初中，
∠PAD=∠PBC=15º，
那么，∠PAB=∠PBA=75º，
故，PA=PB，
又，AD=BC，
因此，S△PAD≌S△PCB，
即，PC=PD
设边长为a，AB=AD=a，∠APB=30º
那么，PA=a/(2sin15º)
根据余玄定理，
PD²=AD²+PA²-2*AD*PA*cos15º
=a²+a²/(4sin²15º)-a²/(tan15°)
又，tan15º=sin15º/cos15º
=2sin²15º/(2sin15º*cos15º)
=2sin²15º/sin30º
=4sin²15º
故a²+a²/(4sin²15º)-a²/(tan15°)=a²
那么，PD=a=AD，
即是，PD=PC=CD=a，
因此，△PCD是等边三角形。

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∠PAD=∠PBC=15°
∠APB=30°
∠PDC=∠PCD=60°
△PDC为等边三角形为什么∠APB=30°之后直接就是∠PDC=∠PCD=60°怎么得出来的∠APB=30° ∠PAB=75° AB平行于CD ∠PAD+∠PDC=75° ∠PAD=15° 所以∠PDC=60° 同理，∠PCD=60°为什么∠PAD+∠PDC=75°呵呵，你可以设AP与CD...

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∠PAD=∠PBC=15°
∠APB=30°
∠PDC=∠PCD=60°
△PDC为等边三角形

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这题直接证明有困难,考虑用同一法:在正方形外画一个正三角形P'DC,再证明P'DC与PDC重合

证明:在正方形外作正三角形P'DC,连接P'A,P'B

所以有DP'=DA,CP'=CB,角ADP'=BCP'=150度

所以,角DAP'=CBP'=15度

因为角DAP=CBP=15度,

所以射线AP与AP'重合,BP与BP'重合

由于两直线相交只有一个交点

所以AP'与BP'的交点P'即为AP与BP的交点,即点P与点P'重合

从而三角形P'DC与PDC重合

所以三角形PDC即为P'DC是等边三角形.

从P点向AB作垂直线，交DC于Q，交AB于R。
∵ABCD是正方形，∴PR∥AD∥BC
∴∠PAD=∠APR，∠PBC=∠BPR
∵∠PAD=∠PBC，∴∠APR=∠BPR
∴△APR≌△BPR，AR=BR，PR就是整个图形的对称轴
∴DQ=CQ，PD=PC，△PDC是等腰三角形。
下一步只要证明∠PDC是60°即可。楼主希望能直接证明，不外乎是想简...

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从P点向AB作垂直线，交DC于Q，交AB于R。
∵ABCD是正方形，∴PR∥AD∥BC
∴∠PAD=∠APR，∠PBC=∠BPR
∵∠PAD=∠PBC，∴∠APR=∠BPR
∴△APR≌△BPR，AR=BR，PR就是整个图形的对称轴
∴DQ=CQ，PD=PC，△PDC是等腰三角形。
下一步只要证明∠PDC是60°即可。楼主希望能直接证明，不外乎是想简洁明了。但是，既然有数值性的条件15°，那么就少不了数值性的计算。
∵tan(θ/2)=√[(1-cosθ)/(1+cosθ)]
∴tan15°=√[(1-cos30°)/(1+cos30°)]=2-√3
∵PR=AR/tan∠APR=AR/tan15°
∴PQ=PR-QR=AR/tan15°-2AR=AR[1/(2-√3)-2]=√3AR
∴tan∠PDC=PQ/DQ=PQ/AR=√3
∴∠PDC=60°
∴△PDC是等边三角形。

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