函数f(x)=(x+a)/(2x+1)在【0,正无穷大)上是增函数,求实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 09:55:51
函数f(x)=(x+a)/(2x+1)在【0,正无穷大)上是增函数,求实数a的取值范围
函数f(x)=(x+a)/(2x+1)在【0,正无穷大)上是增函数,求实数a的取值范围
函数f(x)=(x+a)/(2x+1)在【0,正无穷大)上是增函数,求实数a的取值范围
f(x)=(x+a)/(2x+1)
=[(x+1/2)+(a-1/2)]/(2x+1)
=1/2+(a-1/2)/(2x+1)
要在【0,正无穷大)上是增函数
则 a-1/2
f(x)=(x+a)/(2x+1)
f'(x)=[2x+1+2x(x+a)]/[(2x+1)^2]
f'(x)=[2x^2+2(a+1)x+1]/[(2x+1)^2]
因为x∈[0，∞)时，f(x)是增函数。
令：f'(x)≥0，即：[2x^2+2(a+1)x+1]/[(2x+1)^2]≥0
因为：(2x+1)^2＞0
故只需：2x^2+2...
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f(x)=(x+a)/(2x+1)
f'(x)=[2x+1+2x(x+a)]/[(2x+1)^2]
f'(x)=[2x^2+2(a+1)x+1]/[(2x+1)^2]
因为x∈[0，∞)时，f(x)是增函数。
令：f'(x)≥0，即：[2x^2+2(a+1)x+1]/[(2x+1)^2]≥0
因为：(2x+1)^2＞0
故只需：2x^2+2(a+1)x+1≥0
x^2+(a+1)x+1/2≥0
x^2+2[(a+1)/2]x+[(a+1)/2]^2-[(a+1)/2]^2+1/2≥0
[x+(a+1)/2]^2≥[(a+1)/2]^2-1/2
只需：[(a+1)/2]^2-1/2≥0
即：[(a+1)/2]^2≥1/2
有：(a+1)/2≥(√2)/2……………………(1)
或：(a+1)/2≤-(√2)/2……………………(2)
由(1)得：a≥-1+√2
由(2)得：a≤-1-√2
a的取值范围是：a∈(-∞，-1-√2]∪[-1+√2，∞)。
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