在三角形ABC中,AB=2AC,AD是A的角平分线,且AD=kAC（1）求K的取值范围（2）若三角形ABC面积为1,问K为何值时,BC最短希望能用简单一点的解题方法 搜索有看到一个解答但是过程太烦了考试的时候不大
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 10:53:26
在三角形ABC中,AB=2AC,AD是A的角平分线,且AD=kAC（1）求K的取值范围（2）若三角形ABC面积为1,问K为何值时,BC最短希望能用简单一点的解题方法 搜索有看到一个解答但是过程太烦了考试的时候不大
在三角形ABC中,AB=2AC,AD是A的角平分线,且AD=kAC
（1）求K的取值范围
（2）若三角形ABC面积为1,问K为何值时,BC最短
希望能用简单一点的解题方法 搜索有看到一个解答但是过程太烦了考试的时候不大适用的感觉 希望大神可以给个简单的方法呀
在三角形ABC中,AB=2AC,AD是A的角平分线,且AD=kAC（1）求K的取值范围（2）若三角形ABC面积为1,问K为何值时,BC最短希望能用简单一点的解题方法 搜索有看到一个解答但是过程太烦了考试的时候不大
（不添加任何辅助线）
(1)由已知条件及角平分线定理有BD/DC=AB/AC=2,BD=2DC
再由三角形余弦定理有BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*cos(A/2),
CD^2=AD^2+AC^2-2AD*AC*cos(A/2),
将AD=kAC,AB=2AC,BD=2DC代入上面两式,再两边分别相除可得
4+k^2-4k*cos(A/2)=4(k^2+1-2k*cos(A/2)),
整理得,3k^2=4k*cos(A/2),k=（4/3）*cos(A/2)
因为0 <A<180°,0<A/2<90°,0<cos(A/2)<1, 故0<k<4/3
（2）由已知条件及面积公式有,（1/2）AB*AC*sinA=1,AC^2*sinA=1,AC^2=1/sinA
再由三角形余弦定理有
BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cosA
=5AC^2-4AC^2*cosA
=（5-4cosA)/sinA
将cosA=1-2sin^2(A/2),代入上式整理得
BC^2=（1+8sin^2(A/2))/sinA
=（sin^2(A/2)+cos^2(A/2)+8sin^2(A/2))/sinA
=（9sin^2(A/2)+cos^2(A/2))/sinA
≥ 6sin(A/2)*cos(A/2)/sinA=3
当9sin^2(A/2)=cos^2(A/2)时等号成立,BC取最小值√3,
在9sin^2(A/2)=cos^2(A/2)两边同时加9cos^2(A/2),得10cos^2(A/2)=9
cos(A/2)=3√10/10,再由（1）中,k=（4/3）*cos(A/2)=2√10/5