在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,CD中点是G当角EGF多大时,直线EF垂直于平面PCD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 01:04:31
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,CD中点是G当角EGF多大时,直线EF垂直于平面PCD
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,CD中点是G
当角EGF多大时,直线EF垂直于平面PCD
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,CD中点是G当角EGF多大时,直线EF垂直于平面PCD
因为侧棱PA垂直于底面
所以PA⊥AB 又因为底面ABCD是矩形
所以AB//CD AD⊥CD
所以CD⊥面PAD
所以CD⊥PD
连接FG,EG
根据重点可以知道EF//AD;FG//PD
所以面EFG//面PAD
所以 EF‖面PAD；
因为CD⊥PD；FG//PD所以CD⊥FG；
FG//AD,AD⊥CD所以FG⊥CD；
所以角EGF就是面PCD与面ABCD所成的角.
又因为EF⊥面PCD
没图很难做...
答案45度，可用向量的方法做。
以A为原点，AB为X轴，AP为Z轴建立空间直角坐标系。
设AP=a AB=2
E（1,0,0）F(1,1,1/2a) G(1,2,0)
向量EF=(1,1,1/2a) 向量FG=(0,1,-1/2a)
向量EF.向量FG=1-1/4a^2=0 a=2
EF=根号2 EG=2
所以角EGF为45度
PA垂直ABCD，推出面PAD垂直于面ABCD，又CD垂直于AD，所以面PDC垂直于面PDA，1、 由EG平行于AD，FG平行于PD，知面EFG平行于面PAD，2、 由1、2、两个结论知面EFG垂直于面PCD，所以，仅当角EFG为直角时EF垂直于面PCD，看面EFG在APD上的投影，EF投影于直角三角形PAD的中线且又是PD边的高，这种情况说明PAD只能是等边直角三角形。所以： 角EGF为45度。