e^4x*(1+e^2x)^1/2的不定积分
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 20:41:41
e^4x*(1+e^2x)^1/2的不定积分
e^4x*(1+e^2x)^1/2的不定积分
e^4x*(1+e^2x)^1/2的不定积分
令u=e^(2x),则x=(lnu)/2,dx=1/(2u)·du
∫e^(4x)·√[1+e^(2x)]dx
=∫u²·√(1+u)·1/(2u)·du
=1/2·∫u·√(1+u) du 【令(1+u)=t,则du=dt】
=1/2·∫(t-1)√t dt
=1/2·∫[t^(3/2)-√t] dt
=1/2·[2/5·t^(5/2)-2/3·t^(3/2)]+C
=1/5·t^(5/2)-1/3·t^(3/2)+C
=1/5·[1+e^(2x)]^(5/2)-1/3·[1+e^(2x)]^(3/2)+C
e^4x都是指数吗
∫e^4x*√(1+e^2x) dx
=1/2*∫e^2x*e^2x*√(1+e^2x) d2x
=1/2*∫e^2x*√(1+e^2x)d(e^2x)
=1/2*∫e^2x * 2/3 *d(√(1+e^2x)^3)
=1/3∫e^2x*d(√(1+e^2x)^3)
=1/3 *e^2x*√(1+e^2x)^3-1/3∫√(1+e^2x)^3de^2x
全部展开
∫e^4x*√(1+e^2x) dx
=1/2*∫e^2x*e^2x*√(1+e^2x) d2x
=1/2*∫e^2x*√(1+e^2x)d(e^2x)
=1/2*∫e^2x * 2/3 *d(√(1+e^2x)^3)
=1/3∫e^2x*d(√(1+e^2x)^3)
=1/3 *e^2x*√(1+e^2x)^3-1/3∫√(1+e^2x)^3de^2x
=1/3 *e^2x*√(1+e^2x)^3-1/3∫√(1+e^2x)^3d(1+e^2x)
=1/3 *e^2x*√(1+e^2x)^3-1/3*2/5*∫d(√(1+e^2x)^5
=1/3 *e^2x*√(1+e^2x)^3-2/15 *√(1+e^2x)^5+C
收起
设1+e^2x=t,则e^4x=(t-1)²，x=1/2*ln(t-1),dx=1/2(t-1)
∫e^4x*(1+e^2x)^1/2dx
＝∫（t-1)²* t^1/2* 1/2(t-1)dt
=1/2∫t^1/2* (t-1)dt
=1/2∫(t^3/2-t^1/2)dt
=1/2(2/5*t^5/2-2/3*t^3/2)+c
=1/5*(1+e^2x)^5/2-1/3(1+e^2x)^3/2+c