关于极坐标的有关知识?以及摆线函数

关于极坐标的有关知识?以及摆线函数
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关于极坐标的有关知识?以及摆线函数
关于极坐标的有关知识?以及摆线函数
请教数学高手
回答:
极坐标系(polar coordinates)
http://imgsrc.baidu.com/baike/pic/item/62667cd005d7b79ca1ec9c4d.jpg
在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系.在平面上取定一点O,称为极点.从O出发引一条射线Ox,称为极轴.再取定一个长度单位,通常规定角度取逆时针方向为正.这样,平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定,有序数对（ρ,θ）就称为P点的极坐标,记为P（ρ,θ）；ρ称为P点的极径,θ称为P点的极角.当限制ρ≥0,0≤θ＜2π时,平面上除极点Ο以外,其他每一点都有唯一的一个极坐标.极点的极径为零 ,极角任意.若除去上述限制,平面上每一点都有无数多组极坐标,一般地 ,如果（ρ,θ）是一个点的极坐标 ,那么（ρ,θ＋2nπ）,（－ρ,θ＋（2n＋1）π）,都可作为它的极坐标,这里n 是任意整数.平面上有些曲线,采用极坐标时,方程比较简单.例如以原点为中心,r为半径的圆的极坐标方程为ρ＝r 等速螺线的方程为.此外,椭圆 、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥截线,可以用一个统一的极坐标方程表示.
极坐标系到直角坐标系的转化：
x=ρcosθ
y=ρsinθ
直角坐标系到极坐标系的转换：
长度可直接求出：ρ=sqrt(x^2+y^2)
角度需要分段求出,即判断x,y值求解.
如果ρ=0,则角度θ为任意,也有函数定义θ=0；
如果ρ>0,则：
｛令ang=acin(y/ρ)
如果 y=0,x>0,则,θ=0；
如果 y=0,x<0,则,θ=π；
如果 y>0,则,θ=ang；
如果y<0,则：θ=2π-ang；
｝
摆线(cycloid)
点击下图查看动画
http://imgsrc.baidu.com/baike/pic/item/2cb4fefe59cd78265d600825.jpg
摆线的定义】
摆线是数学中众多的迷人曲线之一．它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动,则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．
摆线别称及原因
一个圆在一条定直线上滚动时,圆周上一个定点的轨迹.又称旋轮线.圆上定点的初始位置为坐标原点,定直线为x轴.当圆滚动j 角以后,圆上定点从 O 点位置到达P点位置.当圆滚动一周,即 j从O变动2π时,动圆上定点描画出摆线的第一拱. 再向前滚动一周, 动圆上定点描画出第二拱,继续滚动,可得第三拱,第四拱……,所有这些拱的形状都是完全相同的 ,每一拱的拱高为2a（即圆的直径）,拱宽为2πa（即圆的周长）.摆线有一个重要性质,即当一物体仅凭重力从A点滑落到不在它正下方的B点时,若沿着A,B间的摆线,滑落所需时间最短,因此摆线又称最速降曲线.
摆线的性质
到17 世纪,人们发现摆线具有如下性质：
1．它的长度等于旋转圆直径的 4 倍．尤为令人感兴趣的是,它的长度是 一个不依赖于π的有理数．
2．在弧线下的面积,是旋转圆面积的三倍．
3．圆上描出摆线的那个点,具有不同的速度——事实上,在特定的地方它甚至是静止的．
4．当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时,它们会同时到达底部
【摆线的出现及争议】
摆线最早出现可见于公元 1501 年出版的 C·鲍威尔的一本书中．但在 17 世 纪,大批卓越的数学家（如伽利略,帕斯卡,托里拆利,笛卡儿,费尔马, 伍任,瓦里斯,惠更斯,约翰·伯努里,莱布尼兹,牛顿等等）热心于研究这一曲线的性质．17 世纪是人们对数学力学和数学运动学爱好的年代,这能 解释人们为什么对摆线怀有强烈的兴趣．在这一时期,伴随着许多发现,也出现了众多有关发现权的争议,剽窃的指责,以及抹煞他人工作的现象．这 样,作为一种结果,摆线被贴上了引发争议的“金苹果”和“几何的海伦” 的标签．
【摆线的相关故事】
时钟与摆线
时钟已变成现代人不可或少的必备工具之一,没有时钟,人们将不知时间,许多重要的约会便会错过,当各位在看表的时候,不知可曾想过,时钟里面隐藏了些甚么道理,一砂一世界,许多我们视为理所当然的事都是先民流血流汗一点一滴累积而成的.
在时钟里面到底隐藏了甚么东西 将这些理论写出来可是厚厚的一大本呢!回想以前的中世纪航海时代,时间的掌握是关乎全船人生命安危的大事,想要和大海搏斗,时间是不可或缺的因数,古时候是以沙漏水钟来计时,但这些计时工具相当不准确,为了增加船员生存的机会,发明精确的计时器变成了当时科学界的当务之急.
那时在意大利有一位年青科学家伽利略,有一次在比萨斜塔处意外地发现一个有趣的现象,教堂的吊灯来回摆动时,不管摆动的幅度大还是小,每摆动一次用的时间都相等.当时,他是以自己的心跳脉搏来计算时间的.从此以后,伽利略便废寝忘食的研究起物理和数学来.他曾用自行制的滴漏来重新做单摆的试验,结果证明了单摆摆动的时间跟摆幅没有关系,只跟单摆摆线的长度有关.这个现象使伽利略想到或许可以利用单摆来制作精确的时钟,但他始终并没有将理想付之实行.
伽利略的发现振奋了科学界,可是不久便发现单摆的摆动周期也不完全相等.原来,伽利略的观察和实验还不够精确.实际上,摆的摆幅愈大,摆动周期就愈长,只不过这种周期的变化是很小的.所以,如果用这种摆来制作时钟,摆的振幅会因为摩擦和空气阻力而愈来愈小,时钟也因此愈走愈快.
过了不久,荷兰科学家决定要做出一个精确的时钟来.伽利略的单摆是在一段圆弧上摆动的,所以我们也叫做圆周摆.荷兰科学家想要找出一条曲线,使摆沿著这样的曲线摆动时,摆动周期完全与摆幅无关.这群科学家放弃了物理实验,纯粹往数学曲线上去研究,经过不少次的失败,这样的曲线终於找到了,数学上把这种曲线叫做“摆线”,“等时曲线”或“旋轮线”
如果你用硬纸板剪一个圆,在圆的边缘固定一枝铅笔,当这圆沿一条直线滚动时,铅笔便会画出一条摆线来.相信这样的玩具许多人都已经看过玩过,以前的街上,常会看到街边小贩再兜售这种摆线玩具,许多人赞叹摆线的美丽,但却不知摆线与时钟的相关性.钟表店里面那些有钟摆的时钟,都是利用摆线性质制作出来的.由于摆线的发现,使的精确时钟的制作不是梦想.这也使人类科技向前迈进一大步.
【行星摆线传动机构的基本原理】
摆线针轮行星传动中,摆线轮齿廓曲线运用内啮合发生圆产生的短幅外摆线.这种摆线曲线的生成原理如词条图所示.
有一发生圆（滚圆）半径为rp',基圆半径为rc',基园内切于发生圆,当发生圆绕基圆作纯滚动,其圆心Op分别处于Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6.各位置时,由此固结在发生圆平面上的点M分别经过M1、M2、M3、M4、M5、M6.各位置,由此发生圆周期滚动,发生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线.
由以上摆线生成的几何关系 若仍保持以上的内切滚动关系,将基圆和摆线视为刚体相对于发生圆运动,则形成了摆线图形相对发生圆圆心Op作行星方式的运动,这就是行星摆线传动机构的基本原理.
PS :摆线方程
x=a(t-sint)
y=a(1-cost)
摆线最为最速曲线,只有在你学习了高等数学之后才能更好的理解它,接受它