方程1/(x-1)=2sin(πx)在区间[-2010,2012]所有根之和等于

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/18 13:12:20
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方程1/(x-1)=2sin(πx)在区间[-2010,2012]所有根之和等于
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方程1/(x-1)=2sin(πx)在区间[-2010,2012]所有根之和等于
设y1=1/(x-1)
y2=2sin(πx)
此题是求以上两个函数的交点的横坐标的和的问题.
显然,以上两个函数都关于点(1,0)成中心对称.
函数y1的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域为x≠1
函数y2的值域为[-2,2],定义域为R,最小正周期为2
在区间[0,2]上,两个函数无交点.
应用介值定理,可以得到第一个交点x0∈[2,9/4]
从x=2开始,在每个周期上,y1和y2都有两个交点.相对应的,在区间[-2010,0]上,两个函数有和区间[2,2012]上相同多的交点.
在区间[2,2012]上,函数y2共有1015个周期,因此和函数y1有2010个交点,因此在区间[-2010,0]上也有2010个交点.且对每一个交点,相对于(1,0)中心对称的点也是两个函数的交点.
而每对这样的交点之和为2,即若x'是两个函数的一个交点的横坐标,则2-x也是两个函数的一个交点的横坐标.
因为一共有2010对这样的交点.
所以,在区间[-2010,2012]上,两个函数所有交点的横坐标的和为2010×2=4020.