已知椭圆x^2/16+y^2/4=1（2）求过点M（1,1）弦的中点轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 03:11:25
已知椭圆x^2/16+y^2/4=1（2）求过点M（1,1）弦的中点轨迹方程
已知椭圆x^2/16+y^2/4=1（2）求过点M（1,1）弦的中点轨迹方程
已知椭圆x^2/16+y^2/4=1（2）求过点M（1,1）弦的中点轨迹方程
设弦交椭圆于点A（x1,y1）B（x2,y2）
椭圆方程：x²+4y²=16
x1²+4y1²=16
x2²+4y2²=16
两式相减
(x1²-x2²)+4(y1²-y2²)=0
(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
设中点为P（x,y）
则x1+x2=2x,y1+y2=2y
(y1-y2)/(x1-x2)=(y-1)/(x-1)
所以
2x+8y×(y1-y2)/(x1-x2)=0
x+4y×(y-1)/(x-1)=0
x²-x+4y²-4y=0
(X-1/2)²+4(y-1/2)²=5/4即为所求
x^2/16+y^2/4=1 ①
直线y-1=k(x-1) ②
①和②联立消去y
得到一个关于x含有k的二元一次方程x^2/10+k^2*x/4+2*(1-k)*x/4+(1-k)^2/4-1=0 ③
③方程的两个解x1和x2，分别是直线和椭圆的交点的x坐标值
x1+x2=(k-1)/{2*(1/8+k^2/2)}
弦的中点x坐标是(x1+x2)/2...
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x^2/16+y^2/4=1 ①
直线y-1=k(x-1) ②
①和②联立消去y
得到一个关于x含有k的二元一次方程x^2/10+k^2*x/4+2*(1-k)*x/4+(1-k)^2/4-1=0 ③
③方程的两个解x1和x2，分别是直线和椭圆的交点的x坐标值
x1+x2=(k-1)/{2*(1/8+k^2/2)}
弦的中点x坐标是(x1+x2)/2
设弦的中点坐标为(a,b)
a=(k-1)/{2*(1/8+k^2/2)}/2 ④
因为 b-1=k(a-1) ⑤
将⑤中的k待入 ④ 消掉k
得到一个关于a b的函数 把a改成x，b改成y，即可
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x^2/16+y^2/4=1（2）括号里的2是什么意思？
把过（1，1）的直线设出来：考虑斜率存在问题，先讨论k不存在时中点就是（1，1），所以可设k存在算出来在加上（1，1）
设过（1，1）直线方程为：y=k*(x-1)+1
上式代入椭圆方程解出交点，（x1，y1）（x2，y2）
所求方程是x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2
注意上式中，x，y是关于k的方程（x1,x2,y1,y2是关于k的方程，）消掉k（...
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把过（1，1）的直线设出来：考虑斜率存在问题，先讨论k不存在时中点就是（1，1），所以可设k存在算出来在加上（1，1）
设过（1，1）直线方程为：y=k*(x-1)+1
上式代入椭圆方程解出交点，（x1，y1）（x2，y2）
所求方程是x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2
注意上式中，x，y是关于k的方程（x1,x2,y1,y2是关于k的方程，）消掉k（可用代入消元法）便可的到一个方程，看（1，1）属于方程否，如果不属，则应加上这点，就得到了所求方程
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