求证,边长为a的正三角形的外接圆上任意一点到三个顶点的距离的平方和为定值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 14:41:18
求证,边长为a的正三角形的外接圆上任意一点到三个顶点的距离的平方和为定值.
求证,边长为a的正三角形的外接圆上任意一点到三个顶点的距离的平方和为定值.
求证,边长为a的正三角形的外接圆上任意一点到三个顶点的距离的平方和为定值.
用解析法做,先建立一个坐标系,在原点处画正三角形,原点为三角形中心.再画出外接圆,外接圆方程就知道了,三角形的三个顶点坐标也可以知道,设圆上任意一点坐标为（x,y）在表示出这点到三个顶点的距离的平方和,利用这个点在已知方程的圆上,就是（x,y）满足圆的方程,来化简就可以了,最后应该可以消掉x,y
虽然我离开校园已经快8年了，不过看到你的这个提问我就顺手拿了张纸划了下。
利用高中的数学知识就可以解了，大学我没好好学，高数神马的早都忘记了。
具体的方法我就不解释了，我说一下我的思路吧：
关键词：正三角形，外接圆，圆心
在纸上画出一个正三角形，外接圆，以及圆心，然后画出圆上任意一点到三角形定点的线，将这三条线分别作为三个三角形的底边，圆半径作为三角形的...
全部展开
虽然我离开校园已经快8年了，不过看到你的这个提问我就顺手拿了张纸划了下。
利用高中的数学知识就可以解了，大学我没好好学，高数神马的早都忘记了。
具体的方法我就不解释了，我说一下我的思路吧：
关键词：正三角形，外接圆，圆心
在纸上画出一个正三角形，外接圆，以及圆心，然后画出圆上任意一点到三角形定点的线，将这三条线分别作为三个三角形的底边，圆半径作为三角形的腰，也就是说另外画出了三个等腰三角形，即假设正三角形的三个顶点为a,b,c，任意一点为x,圆心为0,半径为R，那么就分别得到已xa、xb，xc为底，半径为R的等腰三角形。再画出这三个等腰三角形的中垂线，再画一条以a为顶点的垂直线，也就是直径作为参考。
到三个顶点的距离为定值，那么距离的一半（二分之一xa,xb,xc）也应该为定值，而距离的一半刚好为半径乘以该三角形顶角一半的正弦值还是余弦值来着（神马sin x,cos x我忘记了），然后不难发现这三个距离都与半径和等腰三角形顶角角度有关，又因为半径是定值，那么就证明角度是不是定值就行了，因此上文提到以a为顶点的垂直线，也就是直径作为参考，然后再画一条经过圆心水平线，水平线右侧与圆的交点为y。（此前找了特例，假设x定点在最下方，算了下角度刚好270，后面就证明怎么270就行）
从图中可以看出，角aox,角xob刚好可以加起来，那就不理了，只要证明角boy等于角xoc即可。
将oc延长至圆的另一侧交点为c`，xo的延长线至圆的另一侧焦点为x`，那么对角相等即角xoc等于角x`oc`，那么这个角与角aob不重叠的部分刚好继续填补270度角，那么重叠的部分再通过延长线反到对角，应该是重叠部分角c`ob等于角b`oc，我们再将b`和x`相连，能够看出已b`x`为底半径再R的等腰三角形中还有一个等腰三角形，通过各种对等角，外角等于不相邻内角和原理，轻易得出角b`oy等于角x`oc，至此270度圆满。
收起