一道超级难做的数学题已知f(x)=x^2-4,设曲线y=f(x)在点（Xn,f（Xn））处切线与x轴的交点为（Xn+1）（n∈N*）其中Xn为正实数（1）a1=4,记lg（（Xn+2）/（Xn-2））,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 17:26:29
一道超级难做的数学题已知f(x)=x^2-4,设曲线y=f(x)在点（Xn,f（Xn））处切线与x轴的交点为（Xn+1）（n∈N*）其中Xn为正实数（1）a1=4,记lg（（Xn+2）/（Xn-2））,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}
一道超级难做的数学题
已知f(x)=x^2-4,设曲线y=f(x)在点（Xn,f（Xn））处切线与x轴的交点为（Xn+1）（n∈N*）其中Xn为正实数（1）a1=4,记lg（（Xn+2）/（Xn-2））,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式（2）若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn
一道超级难做的数学题已知f(x)=x^2-4,设曲线y=f(x)在点（Xn,f（Xn））处切线与x轴的交点为（Xn+1）（n∈N*）其中Xn为正实数（1）a1=4,记lg（（Xn+2）/（Xn-2））,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}
分这么少`````
算了.今天心情好..就帮你解答吧.
先求一下该抛物线上任意一点处切线方程.（能记住更好.）
设点(Xn,Xn^2-4)在抛物线f(x)上.
则抛物线该点的斜率为
k=f'(Xn)=2Xn
所以该切线为,
y-(Xn^2-4)=k(x-Xn) .（点斜式）
即.
y=2Xn*x-Xn^2-4
它在x轴上的交点的横坐标为
x=(Xn^2+4)/2Xn
那么由题意得
Xn+1=(Xn^2+4)/2Xn
然后.
an=lg（（Xn+2）/（Xn-2）） 吧.按理说是这样的..
（1）an=lg（（Xn+2）/（Xn-2））.
跟a(n+1)对比一下.（这个会吧.）
可以得到啊a(n+1)=2a(n)
则{an}成等比数列.且公比为2.
(an=4?我之前作的是x1=4,那我就当x1=4解了啊.高考题..)
直接求an通项（等比数列）.
得啊an=2^(n-1)a1=2^（n-1）lg[(X1+2)/(X1-2)]=2^(n-1)lg3
即(Xn+2)/(Xn-2)=3^(2n-1)
所以
Xn=2[3^(2n-1)+1]/[3^(2n-1)-1]
（2）由上知Xn=2[3^(2n-1)+1]/[3^(2n-1)-1]
则bn=Xn-2=4/[3^(2n-1)-1]
由于直接求Tn无法求.下面需要一点放缩.
Tn=b1+b2+.+bn
=4[1/(3^1-1)+1/(3^3-1)+1/(3^5-1)+.+1/(3^7-1)]
>=4[1/2^1+1/2^3+1/2^5+.+1/2^(2n-1)]
.
这里用到了一个结论3^(2n-1)-1>=2^(2n-1).这个一般都得知道.有兴趣自己证明一下..然后括号里面就是公比为1/4的等比数列了.
.
=4[2（1-1/4^n）/3]
=8/3-1/（3*4^（n-1））