arctan((1+x)/(1-x))怎样展开成幂级数?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/17 08:32:48
arctan((1+x)/(1-x))怎样展开成幂级数?arctan((1+x)/(1-x))怎样展开成幂级数?arctan((1+x)/(1-x))怎样展开成幂级数?这个以前做过解1:注意到一个等式

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arctan((1+x)/(1-x))怎样展开成幂级数?

arctan((1+x)/(1-x))怎样展开成幂级数?
这个以前做过
解1:注意到一个等式的话,这个题就比较简单了
tan(π/4+arctanx)=(1+x)/(1-x)
所以 arctan[(1+x)/(1-x)]=arctan[tan(π/4+arctanx)]=π/4+arctanx
所以原式=π/4+arctanx
这样就可以直接用arctanx的展开式做了|x|+∞]
所以原式=π/4+arctanx=π/4+∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1) [n=0->+∞]
解2:(来自星光下的守望者)
令g(x)=arctan[(1+x)/(1-x)],g(0)=π/4
∫[0->x]g'(t)dt = g(x)-g(0)=g(x)-π/4
g'(x)=[(1+x)/(1-x)]'/[1+(1+x)²/(1-x)²]=1/(1+x²)
g(x)=∫[0->x]g'(t)dt+π/4=∫[0->x] 1/(1+t²)dt+π/4
易知1/(1+t²)=1-t^2+t^4-t^6+…… |t|x] (1-t^2+t^4-t^6+……) dt
=π/4+(x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+……)
=π/4+∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1) [n=0->+∞]

求导之后的结果再积分容易算出来