a+b=1,且a、b为正数,则用柯西不等式证明[a+（1/a）]^2+[b+(1/b)]^2>=12.5
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 06:36:47
a+b=1,且a、b为正数,则用柯西不等式证明[a+（1/a）]^2+[b+(1/b)]^2>=12.5
a+b=1,且a、b为正数,则用柯西不等式证明[a+（1/a）]^2+[b+(1/b)]^2>=12.5
a+b=1,且a、b为正数,则用柯西不等式证明[a+（1/a）]^2+[b+(1/b)]^2>=12.5
如果一定要用柯西不等式的话,就这么做：
证明：由柯西不等式：(1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2]>=(a+1/a+b+1/b)^2=(1+1/a+1/b)^2
再用柯西不等式：(a+b)(1/a+1/b)>=(1+1)^2=4
所以1/a+1/b>=4
于是2[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2]>=(1+4)^2=25
上式即(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2
证毕.
如果是柯西不等式证明题，一般不是很难的题。过程一步列完，中间夹杂配凑,式子太长，看起来可能繁琐些，耐心看吧，请见谅！
[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2={[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2}(1+1)/2
≥[a+(1/a)+b+(1/b)]^2/2=[1+(1/a)+(1/b)]^2/2={1+[(1/a)+(1/b)(a+b)]}^2/2
≥[...
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如果是柯西不等式证明题，一般不是很难的题。过程一步列完，中间夹杂配凑,式子太长，看起来可能繁琐些，耐心看吧，请见谅！
[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2={[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2}(1+1)/2
≥[a+(1/a)+b+(1/b)]^2/2=[1+(1/a)+(1/b)]^2/2={1+[(1/a)+(1/b)(a+b)]}^2/2
≥[1+(1+1)^2]^2/2=(1+4)^2/2=12.5，等号成立的条件是a=b。证明完毕。
用柯西不等式做证明题，配凑合适的数字或简式是关键。
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