已知a>0,b>0,c>0,abc=1,证明1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+c^3(a+b)>=3/2柯西不等式做
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 21:45:38
已知a>0,b>0,c>0,abc=1,证明1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+c^3(a+b)>=3/2柯西不等式做
已知a>0,b>0,c>0,abc=1,证明1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+c^3(a+b)>=3/2柯西不等式做
已知a>0,b>0,c>0,abc=1,证明1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+c^3(a+b)>=3/2柯西不等式做
由于1/a^3(b+c)=abc/a^2(ab+bc)=1/a^2(1/b+1/c)令x=1/a,y=1/b,z=1/c,又由于abc=1,a、b、c∈R+,有xyz=1,且x、y、z∈R+,于是只需证明x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)≥3/2.因为x^2/(y+z)+(y+z)/4≥x,y^2/(x+z)+(x+z)/4≥y,z^2/(x+y)+(x+y)/4≥z,以上三式相加得x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)≥(x+y+z)/2≥3(xyz)^(1/3)/2=3/2.得证
基本不等式
参考以下:
1/(a²(b+c))+1/(b²(a+c))+1/(c²(a+b))
=[1/(a²(b+c))+1/(b²(a+c))+1/(c²(a+b))](abc)²
=(b²c²)/(b+c)+(a²c²)/(a+c)+(a²b²)/(a+b)
>=(bc+ac+ab)²/[2(a+b+c)]
这里是用了一个重要的不等式,其实是柯西不等式的一个变形,下面有讲解
=[a²b²+b²c²+a²c²+2(a²bc+ab²c+abc²)]/[2(a+b+c)]
因为a²b²+b²c²+a²c²
=(1/2)(2a²b²+2b²c²+2a²c²)
=(1/2)(a²b²+b²c²+a²c²+a²b²+b²c²+a²c²)
=(1/2)[b²(a²+c²)+a²(c²+b²)+c²(b²+a²)]
利用均值不等式
>=(1/2)[b²(2ac)+a²(2bc)+c²(2ab)]
=ab²c+a²bc+abc²
=a+b+c
所以[a²b²+b²c²+a²c²+2(a²bc+ab²c+abc²)]/(a+b+c)
>=[a+b+c+2(a+b+c)]/[2(a+b+c)]
=3(a+b+c)/[2(a+b+c)]
=3/2 证毕
柯西不等式
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)>=(ax+by+cz)²
变形为
[(a²/x)+(b²/y)+(c²/z)](x+y+z)>=(a²+b²+c²)²
两边除以(x+y+z),即
(a²/x)+(b²/y)+(c²/z)>=(a²+b²+c²)²/(x+y+z)
上面有一关键步就是利用这个不等式证明的
注意到，由于abc=1，所以用(abc)^2乘以原式左边可得：
1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+c^3(a+b)=(bc)^2/[a(b+c)]+(ca)^2/[b(c+a)]+(ab)^2/[c(a+b)]
由柯西不等式：
[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)][(bc)^2/[a(b+c)]+(ca)^2/[b(c+a)]+(ab)^2/[c(a+b)...
全部展开
注意到，由于abc=1，所以用(abc)^2乘以原式左边可得：
1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+c^3(a+b)=(bc)^2/[a(b+c)]+(ca)^2/[b(c+a)]+(ab)^2/[c(a+b)]
由柯西不等式：
[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)][(bc)^2/[a(b+c)]+(ca)^2/[b(c+a)]+(ab)^2/[c(a+b)]]>=(ab+bc+ca)^2
而a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=2(ab+bc+ca)
所以(bc)^2/[a(b+c)]+(ca)^2/[b(c+a)]+(ab)^2/[c(a+b)]>=(ab+bc+ca)/2
由均值不等式：ab+bc+ca>=3*三次根号下(a^2b^2c^2)=3
所以1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+c^3(a+b)=(bc)^2/[a(b+c)]+(ca)^2/[b(c+a)]+(ab)^2/[c(a+b)]>=3/2
证毕。。
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