如果函数F(x)=f(x)lg(x+√(1+x^2))(x∈R)是奇函数,那么f(x)是奇函数还是偶函数?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 03:44:46
如果函数F(x)=f(x)lg(x+√(1+x^2))(x∈R)是奇函数,那么f(x)是奇函数还是偶函数?
如果函数F(x)=f(x)lg(x+√(1+x^2))(x∈R)是奇函数,那么f(x)是奇函数还是偶函数?
如果函数F(x)=f(x)lg(x+√(1+x^2))(x∈R)是奇函数,那么f(x)是奇函数还是偶函数?
令g(x)=lg(x+√(1+x²))
(x+√(1+x²))>0在R上恒大于0
F(x)=f(x)g(x)
g(x)=lg(x+√(1+x²))
g(-x)=lg(-x+√(1+x²))
g(x)+g(-x)=0
∴g(x)为偶函数
∵F(x)=f(x)lg(x+√(1+x²))(x∈R)是奇函数
∴f(x)为偶函数
无法判断
F(-x)=f(-x)lg(-x+√(1+(-x)^2))=f(-x)lg(1/(x+√(1+x^2)))=-f(-x)lg(x+√(1+x^2))
，F(x)是奇函数，所以F(-x)=-F(x)，所以-f(-x)lg(x+√(1+x^2))=-f(x)lg(x+√(1+x^2))，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数
偶函数
由于F(X)为奇函数，就有F(-x)=-F(x)
即左边=f(-x)lg(-x+√(1+x^2))=f(-x)lg[1/(x+√(1+x^2))]=-f(-x)lg(x+√(1+x^2))
右边=-f(x)lg(x+√(1+x^2))
左边与右边比较得f(-x)=f(x)。
偶
偶函数
由于F(X)为奇函数，就有F(-x)=-F(x)
F(-x)=f(-x)lg(-x+√(1+(-x)^2))=f(-x)lg(1/(x+√(1+x^2)))=-f(-x)lg(x+√(1+x^2))
所以-f(-x)lg(x+√(1+x^2))=-f(x)lg(x+√(1+x^2))，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数