设向量a=（cosα,sinα）,b=（cosβ,sinβ）,其中0＜α＜β＜π,若|2a+b|=|a-2b|,则β-α=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 06:59:49
设向量a=（cosα,sinα）,b=（cosβ,sinβ）,其中0＜α＜β＜π,若|2a+b|=|a-2b|,则β-α=?
设向量a=（cosα,sinα）,b=（cosβ,sinβ）,其中0＜α＜β＜π,若|2a+b|=|a-2b|,则β-α=?
设向量a=（cosα,sinα）,b=（cosβ,sinβ）,其中0＜α＜β＜π,若|2a+b|=|a-2b|,则β-α=?
已知向量a=（cosα,sinα）,b=（cosβ,sinβ）,
则易得：|a|=|b|=1,且a*b=cosα*cosβ+sinα*sinβ=cos(β-α)
因为|2a+b|=|a-2b|,则|2a+b|²=|a-2b|²
所以4|a|²+4a*b+|b|²=|a|²-4a*b+4|b|²
即8a*b=-3|a|²+3|b|²=0
所以a*b=0
则由上述（1）式可知：cos(β-α)=0 （2）
因为0＜α＜β＜π,则-π
2向量a＋向量b＝（2cosα＋cosβ，2sinα＋sinβ），
向量a－2向量b＝（cosα－2cosβ，sinα－2sinβ），
∴｜2向量a＋向量b｜＝√［（2cosα＋cosβ）^2＋（2sinα＋sinβ）^2］，
｜向量a－2向量b｜＝√［（cosα－2cosβ）^2＋（sinα－2sinβ）^2］，
∴当｜2向量a＋向量b｜＝｜向量a－2向量b｜时...
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2向量a＋向量b＝（2cosα＋cosβ，2sinα＋sinβ），
向量a－2向量b＝（cosα－2cosβ，sinα－2sinβ），
∴｜2向量a＋向量b｜＝√［（2cosα＋cosβ）^2＋（2sinα＋sinβ）^2］，
｜向量a－2向量b｜＝√［（cosα－2cosβ）^2＋（sinα－2sinβ）^2］，
∴当｜2向量a＋向量b｜＝｜向量a－2向量b｜时，有：
（2cosα＋cosβ）^2＋（2sinα＋sinβ）^2＝（cosα－2cosβ）^2＋（sinα－2sinβ）^2，
∴（2cosα＋cosβ）^2－（cosα－2cosβ）^2＝（sinα－2sinβ）^2－（2sinα＋sinβ）^2，
∴（3cosα－cosβ）（cosα＋3cosβ）＝（3sinα－sinβ）（－sinα－3sinβ），
∴3（cosα）^2＋8cosαcosβ－3（cosβ）^2＝－3（sinα）^2－8sinαsinβ＋3（sinβ）^2，
∴8cosαcosβ＋8sinαsinβ＝0， ∴cos（α－β）＝0， ∴cos（β－α）＝0。
∵0＜α＜β＜π， ∴0＜β－α＜π， ∴β－α＝π/2。
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