如图,延长三角形ABC的各边,使得BF=AC,AE＝CD＝AB 顺次连接DEF得到三角形DEF为等边三角形求；（1）三角形AEF全等三角形CDE （2）三角形ABC为等边三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 13:18:02
如图,延长三角形ABC的各边,使得BF=AC,AE＝CD＝AB 顺次连接DEF得到三角形DEF为等边三角形求；（1）三角形AEF全等三角形CDE （2）三角形ABC为等边三角形
如图,延长三角形ABC的各边,使得BF=AC,AE＝CD＝AB 顺次连接DEF得到三角形DEF为等边三角形
求；（1）三角形AEF全等三角形CDE （2）三角形ABC为等边三角形
如图,延长三角形ABC的各边,使得BF=AC,AE＝CD＝AB 顺次连接DEF得到三角形DEF为等边三角形求；（1）三角形AEF全等三角形CDE （2）三角形ABC为等边三角形
证明：（1）∵BF=AC,AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量代换）．
∵△DEF是等边三角形（已知）,
∴EF=DE（等边三角形的性质）．
又∵AE=CD（已知）,
∴△AEF≌△CDE（SSS）．
（2）由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC（对应角相等）,
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换）,
△DEF是等边三角形（已知）,
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质）,
∴∠BCA=60°（等量代换）,
同理可得∠BAC=60°．
∴△ABC中,AB=BC（等角对等边）．
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．
证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量代换）．
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），...
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证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量代换）．
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
同理可得∠BAC=60°．
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．
AD垂直EF
因为AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC
所以DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等）
在三角形ADE和三角形AFD中
AD=AD；DE=DF
三角形ADE和三角形AEF全等（HL）
所以角ADE=角ADF
在三角形DEG和三角形DFG中
DE=DF；角ADE=角ADF；DG=D
三角形DEG和三角形DFG全等
所以EG=FG；角DGE=角DGF
且角DGE+角DGF=180
所以角DGE=角DGF=90度
所以AD垂直平分EF
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（1）因为BF=AC.AB=AE，
所以FA=EC
因为△DEF为等边三角形
所以EF=DE，
又因为AE=CD，所以△AEF≌△CDE
（2）由△AEF≌△CDE，得到
∠FEA=∠EDC，因为∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠DEF
△DEF是等边三角形，所以∠DEF=60°。
所以∠BCA=60°，同理可得∠BAC=60°
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（1）因为BF=AC.AB=AE，
所以FA=EC
因为△DEF为等边三角形
所以EF=DE，
又因为AE=CD，所以△AEF≌△CDE
（2）由△AEF≌△CDE，得到
∠FEA=∠EDC，因为∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠DEF
△DEF是等边三角形，所以∠DEF=60°。
所以∠BCA=60°，同理可得∠BAC=60°
所以△ABC中，AB=AC，
所以△ABC是等边三角形。
收起