点P是三角形ABC内的一点 PG是BC垂直平分线,角PBC等于2分之1角A BP,CP延长线交AC AB于D E, 求证：BE等于CD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 02:24:37
点P是三角形ABC内的一点 PG是BC垂直平分线,角PBC等于2分之1角A BP,CP延长线交AC AB于D E, 求证：BE等于CD
点P是三角形ABC内的一点 PG是BC垂直平分线,角PBC等于2分之1角A BP,CP延长线交AC AB于D E, 求证：BE等于CD
点P是三角形ABC内的一点 PG是BC垂直平分线,角PBC等于2分之1角A BP,CP延长线交AC AB于D E, 求证：BE等于CD
在CE上或CE的延长线上取一点F,使得：CF = BD .
已知,PG是BC垂直平分线,可得：PB = PC ,则有：∠PCB = ∠PBC = (1/2)∠A .
在△CBF和△BCD中,CF = BD ,∠BCF = ∠CBD ,BC为公共边,
所以,△CBF ≌ △BCD ,可得：BF = CD ,∠CBF = ∠BCD ,∠CFB = ∠BDC .
① 若点F在CE上,则有：
∠BFE = ∠CBF+∠PCB = ∠BCD+∠PCB = ∠ACE+2∠PCB = ∠ACE+∠A = ∠BEF ；
可得：BE = BF = CD ；
② 若点F在CE的延长线上,则有：
∠BFE = ∠BDC = ∠ABD+∠A = ∠ABD+∠PBC+∠PCB = ∠ABC+∠PCB = ∠AEC = ∠BEF ；
可得：BE = BF = CD ；
③ 若点F和点E重合,
可得：BE = BF = CD ；
综上可得：BE = CD .
证明：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点
则∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分线，∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，
∠PFB=∠PMC∠BPF=∠CPM PB=PC
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM；
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB= ∠BPE
∵∠PBC=∠A...
全部展开
证明：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点
则∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分线，∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，
∠PFB=∠PMC∠BPF=∠CPM PB=PC
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM；
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB= ∠BPE
∵∠PBC=∠A
∴∠A=∠BPE．
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°，
∴∠AEP+∠ADP=180°．
又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°，
∴∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CDM中，
∠BEF=∠CDM∠BFE=∠CMD BF=CM
∴△BEF≌△CDM（AAS）．
∴BE=CD．
收起
BE等于CD