三角函数不等式的证明：在三角形ABC中,证明：sinA+sinB+sinC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 20:30:29
三角函数不等式的证明：在三角形ABC中,证明：sinA+sinB+sinC
三角函数不等式的证明：在三角形ABC中,证明：sinA+sinB+sinC
三角函数不等式的证明：在三角形ABC中,证明：sinA+sinB+sinC
学了琴生不等式直接用凸函数性质做.
没学用和差化积.
sinA+sinB+sinc=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)+2sinC/2cosC/2
=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)+2sinC/2sin(A+B/2)
=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)+2sin(C/2)sin(A+B/2)
=2sin(A+B/2)(cos(A-B/2)+sin(C/2))
证明：不妨设∠C为定值，则sinA+sinB+sinC=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+sinC=2cos(C/2)cos[(A-B)/2]+sinC.∵∠C为定值，∴sinC,cos(C/2)也均为定值，∴要使上式取得最大值，仅需cos[(A-B)/2]取得最大值，而cos[(A-B)/2]max=1.此时应有A=B.∴当∠C为定值时，仅当A=B时，上式取得最大值。同理可知，...
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证明：不妨设∠C为定值，则sinA+sinB+sinC=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+sinC=2cos(C/2)cos[(A-B)/2]+sinC.∵∠C为定值，∴sinC,cos(C/2)也均为定值，∴要使上式取得最大值，仅需cos[(A-B)/2]取得最大值，而cos[(A-B)/2]max=1.此时应有A=B.∴当∠C为定值时，仅当A=B时，上式取得最大值。同理可知，当∠A或∠B为定值时，上式取得最大值的条件是B=C,或A=C.∴当A=B=C=60º时，上式取得最大值=(3√3)/2.∴在⊿ABC中，有sinA+sinB+sinC≤(3√3)/2.
收起
解析几何的证:
设A<=B<=C,
做出y=Sinx在[0,pi]之间图象构造三角形EFG，
E(A,SinA) F(B,SinB) G(C,SinC)
则三角形重心G坐标为((A+B+C)/3,(SinA+SinB+SinC)/3),
由于G在图象下方有
(SinA+SinB+SinC)/3
<=Sin((A+B+C)/3),
SinA+SinB+SinC<=3根3/2