已知ab不等于0 证明a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0 希望能人们帮帮忙

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 10:17:09
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已知ab不等于0 证明a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0 希望能人们帮帮忙
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已知ab不等于0 证明a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0 希望能人们帮帮忙
由于ab≠0,所以a^2-ab+b^2=[a-(b/2)]^2+3b^2/4>0.
因为
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)
=(a+b-1)(a^2-ab+b^2)
所以a+b=1等价于a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0.

a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
<=> (a+b)(a^2-ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)=0
<=> (a+b-1)(a^2-ab+b^2)=0
<=> (a+b-1)((a-b/2)^2+3/4*b^2)=0
由于ab<>0则b^2>0 ,(a-b/2)^2+3/4*b^2>=3/4*b^2>0所以
a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
<=> a+b-1=0
<=>a+b=1