.勾股定理

.勾股定理
.勾股定理

.勾股定理
勾股定理:
在我国,把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定古埃及人利用打结作RT三角形理,又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）.
定理：
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a² +b² =c² ； 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形的三条边a,b,c满足a^2+b^2=c^2,如：一条直角边是3,一条直角边是4,斜边就是3*3+4*4=X*X,X=5.那么这个三角形是直角三角形.（称勾股定理的逆定理）
来源：
毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明.据说毕达哥拉斯证明了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”.在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,作为一个证明.法国和比利时称为驴桥定理,埃及称为埃及三角形.我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.
有关勾股定理书籍
《数学原理》人民教育出版社
《探究勾股定理》同济大学出版社
《优因培教数学》北京大学出版社
《勾股模型》 新世纪出版社
《九章算术一书》
《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社
[编辑本段]最早的勾股定理
从很多泥板记载表明,巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的,这里只举一例.例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题,大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上,上端（A）下滑一米至D.问下端（C）离墙根（B）多远?”他们解此题就是用了勾股定理,如图

设AB=CD=l=5米,BC=a,AD=h=1米,则BD=l-h=5-1米=4米
∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米,∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形.
[编辑本段]《周髀算经》简介
青朱出入图
《周髀算经》算经十书之一.约成书于公元前二世纪,原名《周髀》,它是我国最古老的天文学著作,主要阐明当时的盖天说和四分历法.唐初规定它为国子监明算科的教材之一,故改名《周髀算经》.《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用.原书没有对勾股定理进行证明,其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的. 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法.对于勾股定理,记曰：“数之法,出于圆方,方出于矩,距出于九九八十一,故折矩,以为勾三,股四,弦五.直角三角形之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方,(a*a)+(b*b)=(c*c)”
三角形为直角三角形,以勾a为边的正方形为朱方,以股b为边的正方形为青方.以盈补虚,将朱方、青放并成玹方.依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在玄方内,那一部分就不动了.
以勾为边的的正方形为朱方,以股为边的正方形为青方.以赢补虚,只要把图中朱方（a2）的I移至I′,青方的II移至II′,III移至III′,则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c2 ）．由此便可证得a2+b2=c2
[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事
1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使,伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干什么?那个小男孩头也不抬地说：“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答道：“是5呀.”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心里很不是滋味.,伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他出的难题.他经过反复思考与演算,终于弄清了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.
如下:
在网格内,以两个直角边为边长的小正方形面积和,等于以斜边为边长的的正方形面积.
勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,
a^2+b^2=c^2
说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”,较长直角边为“股”,斜边称为“弦”,所以把这个定理成为“勾股定理”.勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系.
举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4,则斜边c^2= a^2+b^2=9+16=25即c=5
则说明斜边为5.
勾股定理的种证明方法（部分）
【证法1】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED,
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.
又∵ AB = BE = EG = GA = c,
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.
即 ∠CBD= 90º.
又∵ ∠BDE = 90º,∠BCP = 90º,
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S,则
,
∴ .
【证法2】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP‖BC,交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ,垂足为N.
∵ ∠BCA = 90º,QP‖BC,
∴ ∠MPC = 90º,
∵ BM⊥PQ,
∴ ∠BMP = 90º,
∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90º.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º,
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º,
∴ ∠QBM = ∠ABC,
又∵ ∠BMP = 90º,∠BCA = 90º,BQ = BA = c,
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
【证法3】（赵浩杰证明）
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
∴FI=a,
∴G,I,J在同一直线上,
∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
∠CJB = ∠CFD = 90º,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90º,
∴∠ABG +∠CBJ= 90º,
∵∠ABC= 90º,
∴G,B,I,J在同一直线上,
【证法4】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE,
交AB于点M,交DE于点
L.
∵ AF = AC,AB = AD,
∠FAB = ∠GAD,
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
∵ ΔFAB的面积等于,
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半,
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证,矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ ,即 .
[编辑本段]勾股定理的别名
勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用.正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称.
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家.我国古代数学家称直角三角形为勾股形,�

RT三角形三边分别为a、b、c，其中a、b为两条直角边，c为直角所对应的斜边
有a^2+b^2=c^2

勾3股4玄5