勾股定理,

勾股定理,
勾股定理,

勾股定理,
首先,你的题目是有问题的,是不可能AB=BC,应该是AB=AC.下面我就以AB=AC做题.
逆时针90°旋转△ACF,得一新三角形ABM≌△ACF,连接EM.∠
∵ ∠BAC=90°,∠EAF=45°,
∴ ∠EAM=∠BAE+∠BAM=∠BAE+∠CAF=∠BAC-∠EAF=45°
∴ ∠EAM=∠EAF
∵ AE=AE ,AF=AM
∴ △AEM≌△AEF
∴ EM=EF
∵ ∠ABC+∠ACB=90°
∴ ∠EBM=∠ABC+∠ABE=90°
∴ EM²=BE²+BM²
∴ EF²=BE²+CF²

前面的都可以不要只要那个三角形面积相等就可以了

因为S(△EFI)=S(△EBD)+S(△CGF)

所以(BD*DE+FG*GC)/2=[AC-(DE+GC)][AB-(BD+FG)]/2

所以(DE^2+FG^2)/2=AC^2/2-AC(DE+FG)+(DE+FG)^2/2

得AC^2/2-AC(DE+FG)+DE*FG=0，于是有：

AC=(DE+FG)±√(DE^2+FG^2)=√2(BE+FC)/2±√[2(BE^2+FC^2)]/2=√2BC/2=√2(EF+BE+FC)/2

所以EF=±√(BE^2+FC^2),EF^2=BE^2+FC^2

• 首先猜想它们之间的关系，因为BE、CF的长度具有一定的对称性（就是说如果取BE=a时CF=b,那么再取BE=b时，CF一定等于a,这个好理解吧），所以我们先猜想BE、CF与EF之间的等量关系中，BE与CF可能是相加、相乘或两者兼有的关系。于是可以根据这个思路来做。（这是思考的部分，不用写出来的）

• 那么直接从数量关系下手，EF = ED + DF

                                                 = AD × (tan∠1 + tan∠2)

                                                 = tan∠1 + tan(45° - ∠1)

                                                 = tan∠1 + (1 - tan∠1) / (1  + tan∠1)

                                                 = (tan²∠1 + 1) / (tan∠1 + 1)

                                           CF = CD - DF

                                                 = 1 - tan∠1

                                同理    BE = 1 - tan∠2

                                                 = 1 - tan(45° - ∠1)

                                                 = 2tan∠1 / (1 + tan∠1)               （直接化过来了）

• （根据猜想，先算算BE+CF与BE×CF看看与EF有什么关系）

                                  BE + CF = 2tan∠1 / (1 + tan∠1) + (1 - tan∠1)

                                                 = (- tan²∠1 + 2tan∠1 + 1) / (1 + tan 1)   。。。。。。①

                                  BE × CF = 2tan∠1 × (1 - tan∠1) / (1 + tan∠1)     。。。。。。②

                                     而  EF = (tan²∠1 + 1) / (tan∠1 + 1)                    。。。。。。③

• 注意这三个式子，分母相同，比较分子易知：① - ② = ③ ，即

                                           EF = BE + CF - BE × CF。

全手打，望采纳^^