设a,b是n维列向量,且a'b不等于-1,证明：E+a(b')可逆,并求其逆矩阵a'是a的转置，b‘是b的转置
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 20:05:21
设a,b是n维列向量,且a'b不等于-1,证明：E+a(b')可逆,并求其逆矩阵a'是a的转置，b‘是b的转置
设a,b是n维列向量,且a'b不等于-1,证明：E+a(b')可逆,并求其逆矩阵
a'是a的转置，b‘是b的转置
设a,b是n维列向量,且a'b不等于-1,证明：E+a(b')可逆,并求其逆矩阵a'是a的转置，b‘是b的转置
设 x 为一个常数.考虑：
（E+ a b')(E + xa b')= E + a b' + x a b' + a b' xa b' = E + (1 + x ) a b' + a (xb'a) b'
= E + (1+x+ xb'a) ab'
于是 当 1+x+ xb'a = 0 时 E+a(b')可逆,即 当 x = -1/(1+b'a) 时,E+a(b')可逆,且其逆矩阵为 E + （-1/（1+b'a））a b'.因为b'a = a'b不等于 -1.所以分母1+b'a不为零.
1、若矩阵ab'只有零特征值，则E+ab'的特征值与E完全相同，则显然E+ab'可逆；
2、若矩阵ab'有非零特征值，下面证非零特征值只有一个，且就是a'b，设a'b＝L
由于R(ab')<=R(a)，且ab'不是零矩阵，因此R(ab')=1，则方程组(ab')X=0的基础解系中包括n-1个线性无关的向量，这说明0至少是ab'的n-1重特征值，又由于ab'必有非零特征值，则0是ab...
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1、若矩阵ab'只有零特征值，则E+ab'的特征值与E完全相同，则显然E+ab'可逆；
2、若矩阵ab'有非零特征值，下面证非零特征值只有一个，且就是a'b，设a'b＝L
由于R(ab')<=R(a)，且ab'不是零矩阵，因此R(ab')=1，则方程组(ab')X=0的基础解系中包括n-1个线性无关的向量，这说明0至少是ab'的n-1重特征值，又由于ab'必有非零特征值，则0是ab'的n-1重特征值，再由ab'的主对角线元素之和为a'b=L（注意主对角线无素之和就是特征值之和），因此ab'的最后一个特征值为L且不等于0，同时L不等于-1，因此E+ab'的所有特征值为：
1+L，1，1，....，1全部非零，所以E+ab'可逆。
楼上的证法比我的好。
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