求证：矩阵A的列向量组线性相关 (AT A)的行列式为零求证：m元向量组a1,a2,...,an线性相关 的充要条件是det(AT A)=0,其中Amxn=[a1,a2,...,an]AT是trans(A)即A的转置一楼 请具体描述下 矩阵A^T的行帙=矩阵A
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 10:56:08
求证：矩阵A的列向量组线性相关 (AT A)的行列式为零求证：m元向量组a1,a2,...,an线性相关 的充要条件是det(AT A)=0,其中Amxn=[a1,a2,...,an]AT是trans(A)即A的转置一楼 请具体描述下 矩阵A^T的行帙=矩阵A
求证：矩阵A的列向量组线性相关 (AT A)的行列式为零
求证：
m元向量组a1,a2,...,an线性相关 的充要条件是
det(AT A)=0,其中Amxn=[a1,a2,...,an]
AT是trans(A)即A的转置
一楼 请具体描述下 矩阵A^T的行帙=矩阵A的列帙
求证：矩阵A的列向量组线性相关 (AT A)的行列式为零求证：m元向量组a1,a2,...,an线性相关 的充要条件是det(AT A)=0,其中Amxn=[a1,a2,...,an]AT是trans(A)即A的转置一楼 请具体描述下 矩阵A^T的行帙=矩阵A
明白LZ的意思.是想问为什么R(A)=R(AT A),即A的秩等于AT A的秩是吧.
我来证明一下这个命题.
构造两个齐次线性方程组：
（1）Ax=0, (2)(AT A)x=0
如果这两个方程组同解,则两个方程组的系数矩阵有相同的秩,R(A)=R(AT A)=n-基础解系中向量个数.
这个很好理解对吧,《线性代数》的基本内容.
现在来证明它们同
首先,如果x1是（1）的解,那么它肯定也是（2）的解,因为将其代入（2）：
(AT A)x1=AT (Ax1)=AT *0=0
其次证明（2）的解也是（1）的
设x1是（2）的解,则AT A x1=0
进一步有：x1T AT A x1=0
即(Ax1)T (Ax1)=0
假设Ax1＝[a1,a2,...,an]T
则(Ax1)T(Ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0
那么只有a1=a2=...=an=0
也就是Ax1=0
至此说明了(2)的解也是(1)的解.
于是R(A)=R(AT A)
就是这一步有点难,接下来的问题都是迎刃而解了.
赞同上面看法。
因为A^T A为n阶，它的秩小于等于minR{A^t,A},
又矩阵A的列向量组线性相关，所以A的秩小于n，
所以minR{A^t,A}小于n
所以A^T A的行列式为零。
我觉得一楼挺好的啊，老师好像就这么讲过，行列式抄来抄去本来就没意思嘎，
实在想写，就写成行向量，列向量呗
矩阵A的列向量组线性相关
<=>矩阵A的列帙