(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC).

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/02/04 04:54:16

(ii)设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC).(ii)设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC

(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC).
(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC).

(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC).
证明:分两步
(1) ABX=0 与 BX=0 同解
显然,BX=0 的解都是 ABX=0 的解
所以BX=0的基础解系可由ABX=0的基础解系线性表示.
由已知 r(B)=r(AB)
所以两个基础解系所含向量个数相同
故两个基础解系等价
[若两个向量组的秩相同,且其中一个可由另一个线性表示,则两个向量组等价]
所以ABX=0的解也是BX=0的解
即两个齐次线性方程组同解.
(2) ABCX=0 与 BCX=0 同解
显然有:BCX=0 的解都是 ABCX=0 的解
反之,设X1是ABCX=0的解
则 ABCX1=0.
即 AB(CX1)=0.CX1是ABX=0的解
由(1)知CX1也是BX=0的解
即有 BCX1=0
所以X1也是BCX=0的解
所以 (2)成立.
[同解齐次方程组的系数矩阵的秩相同]
故 r(ABC)=r(BC).

(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC). （线性代数）设A,B为n阶方阵,证明:r(AB)>=r(A)+r(B)-n 设A,B为n阶方阵,且AB＝0,证明:R(A)+R(B)小于等于n 设A与B为n阶方阵,若AB=0,则r(A)+R(B) 设A与B为n阶方阵,若AB=0,则r(A)+R(B) 方阵性质证明问题设AB为n阶方阵,证明|AB|=|A||B| 线性代数设ab都是n阶方阵,|a|不等于0b的秩为4则r（ab）= 设A,B为n阶方阵,且r(A)+r(B) 设A,B为n阶方阵,且r(A)+r(B) 设A为n阶方阵,B为N×S矩阵,且r(B)=n.证明若AB=0则A=0 设A,B均为n阶方阵,且AB=0,证明r(A)=n-1时,r(A*)=1 设A,B为n阶方阵,且AB＝A+B,试证AB＝BA 线性代数：设A为n阶方阵,若R(A) 设A为n阶方阵,R（A）设n阶方阵A的秩为r 问一道线性代数题目设A,B均为n阶方阵,且r(A) 设A,B为n阶方阵,若AB=A+B,证明:A 设A,B为n阶方阵,证明：如果A*B=0 则R(A)+R(B)