在数列{an}中,a1=1,n大于等于2时,an,Sn,Sn-1/2成等比数列,求通项an
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 07:44:55
在数列{an}中,a1=1,n大于等于2时,an,Sn,Sn-1/2成等比数列,求通项an
在数列{an}中,a1=1,n大于等于2时,an,Sn,Sn-1/2成等比数列,求通项an
在数列{an}中,a1=1,n大于等于2时,an,Sn,Sn-1/2成等比数列,求通项an
在数列{a‹n›}中,a₁=1,n大于等于2时,a‹n›,S‹n›,Sn-(1/2)成等比数列,求通项a‹n›
S‹n›²=a‹n›(S‹n›-1/2) (n≧2).(1)
取n=2,则有S²₂=a₂(S₂-1/2),即(a₁+a₂)²=a₂(a₁+a₂-1//2),
用a₁=1代入得:(1+a₂)²=a₂(a₂+1/2),即有:1+2a₂+a²₂=a²₂+(1/2)a₂,
(3/2)a₂=-1;∴ a₂=-2/3.
又S‹n›/a‹n›=(S‹n›-1/2)/S‹n›,用a‹n›=S‹n›-S‹n-1›代入得:
S‹n›/(S‹n›-S‹n-1›=(S‹n›-1/2)/S‹n›,
故有S²‹n›=(S‹n›-S‹n-1›)(S‹n›-1/2)=S²‹n›-S‹n›S‹n-1›-(1/2)S‹n›+(1/2)S‹n-1›
故得S‹n-1›-S‹n›=2S‹n›S‹n-1›,∴有1/S‹n›-1/S‹n-1›=2,即{1/S‹n›}是个首项为1,公差为2的
等差数列.故1/S‹n›=1+2(n-1)=2n-1,即S‹n›=1/(2n-1),S‹n+1›=1/[2(n+1)-1]=1/(2n+1)
∴a₁=1,a‹n+1›=S‹n+1›-S‹n›=1/(2n+1)-1/(2n-1)=-2/(4n²-1)(n=1,2,3,.)
或写成a‹n›=S‹n›-S‹n-1›=1/(2n-1)-1/[2(n-1)-1]=-2/(2n-1)(2n-3) (n=2,3,4,.)
an,Sn,Sn-1/2成等比数列 an(Sn-1/2)=Sn^2 a2(S2-1/2)=S2^2[Sn-S(n-1)](Sn-1/2)=Sn^2 -(1/2)Sn-S(n-1)Sn (1/2)S(