幂级数n=1到∞∑x^(2n+2)/2(n+1)!求和函数S(x)满足的一阶微分方程,和S(x)的表达式

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 03:56:24
幂级数n=1到∞∑x^(2n+2)/2(n+1)!求和函数S(x)满足的一阶微分方程,和S(x)的表达式幂级数n=1到∞∑x^(2n+2)/2(n+1)!求和函数S(x)满足的一阶微分方程,和S(x)

幂级数n=1到∞∑x^(2n+2)/2(n+1)!求和函数S(x)满足的一阶微分方程,和S(x)的表达式
幂级数n=1到∞∑x^(2n+2)/2(n+1)!
求和函数S(x)满足的一阶微分方程,和S(x)的表达式

幂级数n=1到∞∑x^(2n+2)/2(n+1)!求和函数S(x)满足的一阶微分方程,和S(x)的表达式
S(x)=∑x^(2n+2)/2(n+1)!
S'(x)=∑x^(2n+1)/(n)!=x∑x^(2n)/(n)!=2x∑x^(2n)/2(n)!=2x(x^2/2+S(x))
S'=2xS+x^3是S(x)满足的一阶微分方程
解得:S=Ce^(x^2)-(x^2+1)/2
由于S(0)=0 C=1/2
S=[e^(x^2)-(x^2+1)]/2

S(x) = Σ {n=1 ->∞ } x^(2n+2)/2(n+1)!
S'(x) = Σ {n=1 ->∞ } x^(2n+1)/n!
= Σ {n=1 ->∞ } x * [(x^2)^n/n!]
= x[e^(x^2)] - x
再积分:
S(x) = ∫ S'(x) dx= ∫ {x[e^(x^2)] - x} dx
= (1/2) * [e^(x^2) -x^2]

计算自己检查一下