已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点（1,f（1））处切线方程为x+2y-3=0如果当x＞0,且x≠1时,f(x)＞lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 19:29:54
已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点（1,f（1））处切线方程为x+2y-3=0如果当x＞0,且x≠1时,f(x)＞lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围
已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点（1,f（1））处切线方程为x+2y-3=0
如果当x＞0,且x≠1时,f(x)＞lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围
已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点（1,f（1））处切线方程为x+2y-3=0如果当x＞0,且x≠1时,f(x)＞lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围
我来试试吧.
f(1)=b,
由题,x+2y-3=0过点(1,b)
代入解得b=1
相切,有f'(a)=a/2-b=a/2-1=-1/2
解得a=1
故f(x)=lnx/(x+1) +1/x
x>0且x≠1时,f(x)＞lnx/(x-1) + k/x
整理得
k0且x≠1时恒成立
设h(x)=xlnx/(x-1)(x+1),原问题等价于求h(x))在x>0且x≠1上最大值
h'(x)=[-x²lnx-lnx+x²-1]/(x²-1)²
令g(x)=-x²lnx-lnx+x²-1
g'(x)=2x-2xlnx-x-1/x
g"(x)=1/x²-2lnx-1
g'"(x)=-2/x³-2/x0,h↑；1
由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）
f′(x)=a(x+1/x -lnx)/(x+1)^-b/x^
由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2 ，且过点（1，1），故 f(1)=1 f′(1)=-1/2
即b=1 a /2 -b=-1/ 2 解得a=1，b=1
由（Ⅰ）知f(x)=lnx /x+1 +1/ x ，所以
f(x)-(lnx/x...
全部展开
由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）
f′(x)=a(x+1/x -lnx)/(x+1)^-b/x^
由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2 ，且过点（1，1），故 f(1)=1 f′(1)=-1/2
即b=1 a /2 -b=-1/ 2 解得a=1，b=1
由（Ⅰ）知f(x)=lnx /x+1 +1/ x ，所以
f(x)-(lnx/x-1+k/ x )=1 /1-x2 (2lnx+(k-1)(x2-1)/x）
考虑函数h(x)=2lnx+(k-1)(x2-1) /x （x＞0），则
h′(x)=(k-1)(x2+1)+2x /x2
（i）设k≤0，由h′(x)=k(x2+1)- (x-1)2 /x^知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得1 /1-x2 h(x)＞0；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得1 /1-x2 h（x）＞0
从而当x＞0，且x≠1时，f（x）-（lnx/ x-1 +k /x ）＞0，即f（x）＞lnx/ x-1 +k /x ．
（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，1 /1-k ）时，（k-1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而
h（1）=0，故当x∈（1，1 /1-k ）时，h（x）＞0，可得1 /1-x^ h（x）＜0，与题设矛盾．
（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得1 /1-x^ h（x）＜0，与题设矛盾．
综合得，k的取值范围为（-∞，0]
收起
/(x+1)在对数符号里面吗？