等腰直角三角形ABC中,角C等于90度,扇形CE中,圆心角CEF等于45度,CE=CA,扇形绕点C旋转,CE,CF交AB与点M,N.试说明MN平方等于AM平方加BN平方.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 20:26:33
等腰直角三角形ABC中,角C等于90度,扇形CE中,圆心角CEF等于45度,CE=CA,扇形绕点C旋转,CE,CF交AB与点M,N.试说明MN平方等于AM平方加BN平方.
等腰直角三角形ABC中,角C等于90度,扇形CE中,圆心角CEF等于45度,CE=CA,扇形绕点C旋转,CE,CF交AB与点M,N.试说明MN平方等于AM平方加BN平方.
等腰直角三角形ABC中,角C等于90度,扇形CE中,圆心角CEF等于45度,CE=CA,扇形绕点C旋转,CE,CF交AB与点M,N.试说明MN平方等于AM平方加BN平方.
（根据题意,修改了其中以个已知,应该是圆心角ECF等于45度）
证明：在弧AB上作一点P,连接CP,使∠ACE=∠ECP,同时连接PM、PN
因为∠ACB=90°,且∠ECP+∠FCP=∠ECF=45°,所以∠ACE+∠BCF=45°
所以∠FCP=∠BCF
因为AC合PC同为圆的半径,所以AC=CP,且CM为△ACM和△MCP的公共边
所以△ACM全等于△MCP,即AM=PM,且∠AME=∠PME （同外角相等）
同理可证,BN=PN,且∠PNF=∠BNF
∠CAM=45°,所以∠AME=∠CAM+∠ACM=45°+∠ACM
所以∠NMP=180°- ∠AMP=180°- 2 *∠AME=180°- 2 * (45°+∠ACM) = 90°- 2 * ∠ACM
同理可得 ∠MNP=90°- 2 * ∠BCN
所以∠NMP+∠MNP=90°- 2 * ∠ACM + 90°- 2 * ∠BCN=180°- 2 * （∠ACM+∠BCN）=90°
所以∠MPN=90°,满足勾股定理 MN²=PM²+PN²=AM²+BN²
（根据题意，修改了其中以个已知，应该是圆心角ECF等于45度）
证明：在弧AB上作一点P，连接CP，使∠ACE=∠ECP，同时连接PM、PN
因为∠ACB=90°，且∠ECP+∠FCP=∠ECF=45°，所以∠ACE+∠BCF=45°
所以∠FCP=∠BCF
因为AC合PC同为圆的半径，所以AC=CP，且CM为△ACM和△MCP的公共边
所以△ACM全等于△...
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（根据题意，修改了其中以个已知，应该是圆心角ECF等于45度）
证明：在弧AB上作一点P，连接CP，使∠ACE=∠ECP，同时连接PM、PN
因为∠ACB=90°，且∠ECP+∠FCP=∠ECF=45°，所以∠ACE+∠BCF=45°
所以∠FCP=∠BCF
因为AC合PC同为圆的半径，所以AC=CP，且CM为△ACM和△MCP的公共边
所以△ACM全等于△MCP，即AM=PM，且∠AME=∠PME （同外角相等）
同理可证，BN=PN，且∠PNF=∠BNF
∠CAM=45°，所以∠AME=∠CAM+∠ACM=45°+∠ACM
所以∠NMP=180°- ∠AMP=180°- 2 *∠AME=180°- 2 * (45°+∠ACM) = 90°- 2 * ∠ACM
同理可得 ∠MNP=90°- 2 * ∠BCN
所以∠NMP+∠MNP=90°- 2 * ∠ACM + 90°- 2 * ∠BCN=180°- 2 * （∠ACM+∠BCN）=90°
所以∠MPN=90°，满足勾股定理 MN²=PM²+PN²=AM²+BN²
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