复变函数里一般复数的复数次幂在研究广义幂指函数的时候,遇到一个问题：(a+i*b)^(a+i*b)和(r*(cosa+i*cosb))^(r*(cosa+i*cosb))结果的一般形式.以前曾经计算过i^i，结果有点怪异的。所以想求一般复数

复变函数里一般复数的复数次幂在研究广义幂指函数的时候,遇到一个问题：(a+i*b)^(a+i*b)和(r*(cosa+i*cosb))^(r*(cosa+i*cosb))结果的一般形式.以前曾经计算过i^i，结果有点怪异的。所以想求一般复数
复变函数里一般复数的复数次幂
在研究广义幂指函数的时候,遇到一个问题：
(a+i*b)^(a+i*b)和(r*(cosa+i*cosb))^(r*(cosa+i*cosb))结果的一般形式.
以前曾经计算过i^i，结果有点怪异的。所以想求一般复数的二阶二次广义幂指结果。
我想要的是比如Re+i*Im或者r*（cosa+i*sina)的形式。
很很抱歉，我的题目写错了，应该是（r*(cosa+i*sina))^（r*(cosa+i*sina))的结果。不过，blenc的结果我比较认同。如果没有网友异议，将采用他的结果 （他的结果，看起来比较严谨，而且使用cosa和cosb不影响答案的）。

复变函数里一般复数的复数次幂在研究广义幂指函数的时候,遇到一个问题：(a+i*b)^(a+i*b)和(r*(cosa+i*cosb))^(r*(cosa+i*cosb))结果的一般形式.以前曾经计算过i^i，结果有点怪异的。所以想求一般复数
解决这个问题主要是运用公式w^z=exp(z*Lnw)=exp{z*[i*(arg(w)+2kπ)+ln|w|]}
其中w、z是复数,注意Lnw是多值函数!所以下面的结果都是多值函数,不同的值通过不同的k来区别.
令θ=arg(a+ib),R=√(a²+b²),则
(a+ib)^(a+ib)
=exp{[i(θ+2kπ)+lnR]*(a+ib)}
=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*exp{i[(θ+2kπ)*a+blnR]}
=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*{cos[(θ+2kπ)*a+blnR]+i*sin[(θ+2kπ)*a+blnR]}
=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*cos[(θ+2kπ)*a+blnR]+i*exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*sin[(θ+2kπ)*a+blnR]
令φ=arg(cosa+icosb),K=√[r²(cos²a+cos²b)],则
(r*(cosa+i*cosb))^(r*(cosa+i*cosb))
=exp{i(φ+2kπ+lnK)*r*(cosa+i*cosb)}
=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*exp{i*r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}
=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*(cos{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}+i*sin{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]})
=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*cos{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}+i*exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*sin{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}
i^i=exp{i[(π/2)+2kπ]*i}=exp{-[(π/2)+2kπ]},其中k∈Z

我想这是一个数学大师们不曾解决的难题。
人们通常的作法是利用exp(x)进行转换。
我建议你利用牛顿二项式定理展开，再利用Euler的Beta函数与gamma函数试试看。我想可能很难，没有现在结果。数学大师们肯定早就想到过这样的问题，如果他们曾经解决过，那么我们的教材中必定会写出来，因为：这是一个如此简明的表达式，这也是我曾想提问的内容之一。
相似的问题还有：
si...

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我想这是一个数学大师们不曾解决的难题。
人们通常的作法是利用exp(x)进行转换。
我建议你利用牛顿二项式定理展开，再利用Euler的Beta函数与gamma函数试试看。我想可能很难，没有现在结果。数学大师们肯定早就想到过这样的问题，如果他们曾经解决过，那么我们的教材中必定会写出来，因为：这是一个如此简明的表达式，这也是我曾想提问的内容之一。
相似的问题还有：
sin (npi),n是有理数，如何表达成n的级数？
或者，sin (npi/m),n,m是整数，如何表达成n,m的多项式函数？
另如：
pi^n,如何计算？能展为级数么？(n为整数；n为有理数p/q?)
pi,是可以的。
当然，或者上面的问题早有解决，只是我不知道。趁此机会，一并提问，望高人解难。

收起

a^b被定义成多值函数 exp( b * log(a) )

一下计算没有考虑对数函数的多值性
a=r exp(i f)
b=x+i y
a^b= [r exp(if)]^(x+iy)
= r^(x+iy) exp(if(x+iy))
= r^x * r^(iy) * exp(ifx)*exp(-fy)
= (r^x exp(-fy))*exp(ifx+iy ln r)
= (r^x exp(-fy))*exp(i*(fx+ylnx))