定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则f(-3)=?解:令x=1,y=0,代入已知条件得 f(1+0)=f(1)+f(0)+2*1*0,即 f(0)=0,令y=-x,代入已知条件得f(x-x)=f(x)+f(-x)+2*x*(-x),整理得 f(-x)=2x^2-f(x) (1)令x=1,y=1代入
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/22 11:49:13
定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则f(-3)=?解:令x=1,y=0,代入已知条件得 f(1+0)=f(1)+f(0)+2*1*0,即 f(0)=0,令y=-x,代入已知条件得f(x-x)=f(x)+f(-x)+2*x*(-x),整理得 f(-x)=2x^2-f(x) (1)令x=1,y=1代入
定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则f(-3)=?
解:令x=1,y=0,代入已知条件得
f(1+0)=f(1)+f(0)+2*1*0,即 f(0)=0,
令y=-x,代入已知条件得
f(x-x)=f(x)+f(-x)+2*x*(-x),整理得
f(-x)=2x^2-f(x) (1)
令x=1,y=1代入已知条件得
f(1+1)=f(1)+f(1)+2*1*1=2+2+2=6,即f(2)=6,
令x=2,y=1代入已知条件得
f(2+1)=f(2)+f(1)+2*2*1=12,即f(3)=12
所以,令x=3代入等式(1)中得
f(-3)=2*3^2-f(3)=18-12=6
我的问题是:为什么要令x=1,y=0;y=-x;等等.
具体思路是怎样的?
定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则f(-3)=?解:令x=1,y=0,代入已知条件得 f(1+0)=f(1)+f(0)+2*1*0,即 f(0)=0,令y=-x,代入已知条件得f(x-x)=f(x)+f(-x)+2*x*(-x),整理得 f(-x)=2x^2-f(x) (1)令x=1,y=1代入
从题目和问题双方向入手:已知f(1)=2,那么就假设x+y=1,谁是1谁是0没关系,重点是能得到一个新的可知条件f(0)=0,再由此推x+y=0,可以得到 f(-x)=2x^2-f(x).此时可以看到,出现了f(-x),和问题f(-3)的形式是一样的,那么,只要求得f(3)即可.就用已得到的关系f(1)=2,f(0)=0,不断的假设,可求得f(3),最后得到f(-3)=6
这其实是一类问题的解决方法,可以慢慢学习
这叫赋值法.因为等式f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy对任意实数均成立,那么对x=1,y=0当然也成立.要求f(-3),可以先求f(3),这样就必须知道f(-x)与f(x)间的关系,而要找到f(-x)与f(x)间的关系,又不可避免地要求出f(0),故有思路令x=1,y=0;y=-x;等.