已知a是正整数,如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0的根都是整数,求a的值及方程的整数根．解题思路中设（a+18）2-224=k2（其中k为非负整数）,k为什么是非负整数?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 10:49:03
已知a是正整数,如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0的根都是整数,求a的值及方程的整数根．解题思路中设（a+18）2-224=k2（其中k为非负整数）,k为什么是非负整数?
已知a是正整数,如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0的根都是整数,求a的值及方程的整数根．
解题思路中设（a+18）2-224=k2（其中k为非负整数）,k为什么是非负整数?
已知a是正整数,如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0的根都是整数,求a的值及方程的整数根．解题思路中设（a+18）2-224=k2（其中k为非负整数）,k为什么是非负整数?
将方程的左边分解因式,得（x-1）【x2+（a+18）x+56】=0,观察易知,方程有一个整数根x1=1,
∵a是正整数,
∴关于x的方程x2+（a+18）x+56=0（1）的判别式△=（a+18）2-224＞0,它一定有两个不同的实数根．
而原方程的根都是整数,所以方程（1）的根都是整数,因此它的判别式△=（a+18）2-224应该是一个完全平方数．
设（a+18）2-224=k2（其中k为非负整数）,则（a+18）2-k2=224,即（a+18+k）（a+18-k）=224．
显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同,且a+18+k≥18,而224=112×2=56×4=28×8,所以a+18+k=112 a+18-k=2或a+18+k=56 a+18-k=4或a+18+k=28 a+18-k=8解得a=39 k=55或a=12 k=26或a=0 k=10
而a是正整数,所以只可能a=39 k=55或a=12 k=26.
当a=39时,方程（1）即x2+57x+56=0,它的两根分别为-1和-56．此时原方程的三个根为1,-1和-56．
当a=12时,方程（1）即x2+30x+56=0,它的两根分别为-2和-28．此时原方程的三个根为1,-2和-28
方程可分解为：x^3-x^2+(a+18)x^2-(a+18)x+56x-56=0
(x-1)[x^2+(a+18)x+56]=0
其中一个根为x=1
另2个根为方程x^2+(a+18)x+56=0的解
得：a=-x-56/x-18
x为56的因数，因为a>0, 所以x为负整数
x=-1或-56， a=1+56-18=39,此时另2根为-1, -56...
全部展开
方程可分解为：x^3-x^2+(a+18)x^2-(a+18)x+56x-56=0
(x-1)[x^2+(a+18)x+56]=0
其中一个根为x=1
另2个根为方程x^2+(a+18)x+56=0的解
得：a=-x-56/x-18
x为56的因数，因为a>0, 所以x为负整数
x=-1或-56， a=1+56-18=39,此时另2根为-1, -56
x=-2或-28， a=2+28-18=12,此时另2根为-2,-28
x=-4或-14， a=4+14-18=0, 不符
x=-7或-8，. a=7+8-18<0,不符。
收起