函数y=x的1-lgx次方(1小于等于x小于等于100)的最大值为?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/08 14:46:36
函数y=x的1-lgx次方(1小于等于x小于等于100)的最大值为?函数y=x的1-lgx次方(1小于等于x小于等于100)的最大值为?函数y=x的1-lgx次方(1小于等于x小于等于100)的最大值

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考虑到y=lgx为(0,+∞)上的增函数,且
y=x^(1-lgx)>0
故可先对函数等号两边去对数,求lgy的最大值,而lgy的最大值正好对应y的最大值.
lgy=lg[x^(1-lgx)]=(1-lgx)lgx
=-(lgx)^2+lgx=-(lgx-1/2)^2+1/4
≤1/4(当且仅当x=√10时取等号)
故当x=√10时,lgy取最大值1/4,y取最大值:四次根号10.

由题意可得
令lgx=t,有x=10^t
因为1≤x≤100,所以0≤t≤10
y=x^1-lgx=(10^t)^(1-t)=10^(t-t^2)=10^[-(t-1/2)^2+1/4]
显然当-(t-1/2)^2+1/4,0≤t≤10有最大值时,y最大。
得t=1/2,即x=10^t=x=√10