abcd为实数,a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,求证：-1/4
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 01:34:36
abcd为实数,a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,求证：-1/4
abcd为实数,a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,求证：-1/4
abcd为实数,a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,求证：-1/4
均值不等式的内容……
分别设
M=(a+b)/2>=(ab)^(0.5)
N=(c+d)/2>=(cd)^(0.5)
则(M+N)/2>=(MN)^(0.5)
根据不等式传导性,带入
则
(a+b+c+d)>=(abcd)^(0.25)
当且仅当a=b=c=d时,等号成立
事实上,对于任意的多得数都有(a+b+c……)/n>=(abc……)^(1/n),当且仅当a=b=c=……时,等号成立.
证明时使用数学归纳法
您好！
设a=sinx,b=cosx,c=siny,d=cosy
所以abcd=sinxcosxsinycosy=[(1/2)sin2x][(1/2)sin2y]
所以取适当的x,y可使abcd取最小值-1/4.
下面明白了吧。。。
∵(a+b)^2≥0 ∴a^2+2ab+b^2≥0 ∴ab≥-(a^2+b^2)/2 ∴ab≥-1/2
∵(a-b)^2≥0 ∴a^2-2ab+b^2≥0 ∴ab≤(a^2+b^2)/2 ∴ab≤1/2
∴-1/2≤ab≤1/2
同理-1/2≤cd≤1/2
当cd≥0时,
∵-1/2≤ab≤1/2 ∴-1/2cd≤abcd≤1/2cd
∵ ...
全部展开
∵(a+b)^2≥0 ∴a^2+2ab+b^2≥0 ∴ab≥-(a^2+b^2)/2 ∴ab≥-1/2
∵(a-b)^2≥0 ∴a^2-2ab+b^2≥0 ∴ab≤(a^2+b^2)/2 ∴ab≤1/2
∴-1/2≤ab≤1/2
同理-1/2≤cd≤1/2
当cd≥0时,
∵-1/2≤ab≤1/2 ∴-1/2cd≤abcd≤1/2cd
∵ cd≤1/2 ∴-1/4≤abcd≤1/4
当cd＜0时,
∵-1/2≤ab≤1/2 ∴-1/2cd≥abcd≥1/2cd
∵ cd≥-1/2 ∴-1/4≤abcd≤1/4
∴-1/4≤abcd≤1/4
收起
设a=sinx,b=cosx,c=siny,d=cosy
所以abcd=sinxcosxsinycosy=[(1/2)sin2x][(1/2)sin2y]
所以取适当的x,y可使abcd取最小值-1/4.