常系线性递推数列特征方程中出现复根怎么求通项
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/18 13:33:08
常系线性递推数列特征方程中出现复根怎么求通项常系线性递推数列特征方程中出现复根怎么求通项常系线性递推数列特征方程中出现复根怎么求通项把所有数当做复数来考虑,举个例子:求A[1]=-1,A[2]=2,A
常系线性递推数列特征方程中出现复根怎么求通项
常系线性递推数列特征方程中出现复根怎么求通项
常系线性递推数列特征方程中出现复根怎么求通项
把所有数当做复数来考虑,举个例子:
求A[1]=-1,A[2]=2,A[n+1]+A[n]+A[n-1]=0 的通项公式
特征方程为X^2+X+1=0
得到两特征根 X[1]=cos(2pi/3)+isin(2pi/3) X[2]=cos(-2pi/3)+isin(-2pi/3)
于是引入两个系数C[1],C[2] 来表示A[n]
A[n]=C[1]X[1]^n+C[2]X[2]^n 代入初始条件得到复数方程组
(C[1]+C[2])cos(2pi/3)+(C[1]-C[2])isin(2pi/3)=-1
(C[1]+C[2])cos(2pi/3)-(C[1]-C[2])isin(2pi/3)=2
解得 C[1]=cos(2pi/3)+isin(2pi/3)
C[2]=cos(-2pi/3)+isin(-2pi/3)
综上 A[n-1]=X[1]^n+X[2]^n
=cos(2npi/3)+isin(2npi/3)+cos(2npi/3)-isin(2npi/3)
=2cos(2npi/3)
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