1到1000中所有不能被2、3、5整除的自然数有多少个?算式怎么列?

1到1000中所有不能被2、3、5整除的自然数有多少个?算式怎么列?
1到1000中所有不能被2、3、5整除的自然数有多少个?算式怎么列?

1到1000中所有不能被2、3、5整除的自然数有多少个?算式怎么列?
1到1000中所有不能被2、3、5整除的自然数有多少个?算式怎么列?
以下用[]表示取整数部分,即高斯取整函数.
计算过程是将下面{}内的各行的计算项取代数和.
{
1000,
-[1000/2]-[1000/3]-[1000/5] = -500 -333-200 =-1033
+[[1000/2]/3] +[[1000/2]/5] +[[1000/3]/5] =[500/3]+[500/5]+[333/5]=166+100+66=332
-[ [[1000/2]/3]/5 ]=-[166/5] =-33
}
=1000-(500+333+200) +(166+100+66)-33
=-33+332-33=266
原理:容斥原理 (又称作包含排除原理或逐步淘汰原则,可参考百度百科-容斥原理)
推广:
1到X中所有不能被2,3,5,...,p(i),...,p(n)整除的自然数的个数
=sum{
+X,
-{ [X/2]+[X/3]+...+...+[X/p(n)] }
+{
+[X/2/3]+[X/2/5+.+[X/2/p(n)]
+ [x/3/5]+...+[x/2/p(n)]
+ ...+...
+ +[X/p(n-1)/p(n)]
}
-...
+...
+ (-1)^n * [X/2/3/.../p(n)]
}
注#1:这里的[]表示取整数部分,即高斯取整函数.
注#2:计算时可以使用 [X/(2*3)]=[ [X/2] /3 ]= [ [X/3] /2 ]
注#3:在数论中,欧拉函数有类似的形式与性质
注#4:代数和的正负号=(-1)^数的奇次方质因子的个数(或者说,去除平方因数之后的剩下质因子的个数为奇则取负,为偶数包括0则取正).这在数论中称作mobius函数(莫比乌斯),参考百度百科-数论函数-积性函数.

1到1000中所有能被5整除的自然数有1000/5=200（个）；能被3整除的有1000/3=333（个）……1；能被2整除的有1000/2=500（个）；其中既能整除5又能整除3的有1000/15=66（个）……10（15是5和3的最小公倍数）；既能被3又能被2整除的有1000/6=166（个）……4 （6是3和2的最小公倍数）；既能被5又能被2整除的数有1000/10=100（个）（10是5和...

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1到1000中所有能被5整除的自然数有1000/5=200（个）；能被3整除的有1000/3=333（个）……1；能被2整除的有1000/2=500（个）；其中既能整除5又能整除3的有1000/15=66（个）……10（15是5和3的最小公倍数）；既能被3又能被2整除的有1000/6=166（个）……4 （6是3和2的最小公倍数）；既能被5又能被2整除的数有1000/10=100（个）（10是5和2的最小公倍数）；能被5，3，2都整除的数有1000/30=33（个）……10（30是5，3，2的最小公倍数）
既能整除5又能整除3的，但不能被2整除的有66-33=33（个）；既能被3又能被2整除的，但不能被5整除的有166-33=133（个），既能被5又能被2整除的，但不能被3整除的有100-33=67（个），所以，1到1000中所有能被5或3或2整除的自然数有200+333+500-33-133-67=800（个），所以1到1000中所有不能被5，3，2整除的自然数有1000-800=200（个）、
列式：1000-（200+333+500-66-166-100+33+33+33）=200（个）

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能被2整除：1000÷2=500（个）
能被3整除：[1000÷3]=333（个）
能被5整除：1000÷5=200（个）
能被2、3整除：[1000÷（2×3）]=133（个）
能被2、5整除：1000÷（2×5）=100（个）
能被3、5整除：[1000÷（3×5）]=66（个）
能被2、3、5整除：[1000÷（2×3×5）]=33（个）

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能被2整除：1000÷2=500（个）
能被3整除：[1000÷3]=333（个）
能被5整除：1000÷5=200（个）
能被2、3整除：[1000÷（2×3）]=133（个）
能被2、5整除：1000÷（2×5）=100（个）
能被3、5整除：[1000÷（3×5）]=66（个）
能被2、3、5整除：[1000÷（2×3×5）]=33（个）
不能被2、3、5整除：1000-500-333-200+133+100+66-33=233（个）

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