斐泼那契数列的通项公式及证明

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/15 17:15:51

斐泼那契数列的通项公式及证明斐泼那契数列的通项公式及证明斐泼那契数列的通项公式及证明F(n)=(1/√5){[(1+√5)/2]^(n+2)-[(1-√5)/2]^(n+2)}下面用特征值法求F(n)

斐泼那契数列的通项公式及证明
斐泼那契数列的通项公式及证明

斐泼那契数列的通项公式及证明
F(n)= (1/√5){[(1+√5)/2]^(n+2)-[(1-√5)/2]^(n+2)}
下面用特征值法求F(n)——裴波那契数列 1 1 2 3 5 ...的通项
F(n+2) = F(n+1) + F(n) => F(n+2) - F(n+1) - F(n) = 0
令 F(n+2) - aF(n+1) = b(F(n+1) - aF(n))
展开 F(n+2) - (a+b)F(n+1) + abF(n) = 0
显然 a+b = 1 ab = -1
由韦达定理知 a、b为二次方程 x2 - x - 1 = 0 的两个根
解得 a = (1 + √5)/2,b = (1 -√5)/2 或 a = (1 -√5)/2,b = (1 + √5)/2
令G(n) = F(n+1) - aF(n),则G(n+1) = bG(n),且G(1) = F(2) - aF(1) = 1 - a = b,因此G(n)为等比数列,G(n) = (1-a)bn-1 = bn ,即
F(n+1) - aF(n) = G(n) = bn -------------------------------------- (1)
在(1)式中分别将上述 a b的两组解代入,由于对称性不妨设x = (1 + √5)/2,y = (1 -√5)/2,得到：
F(n+1) - xF(n) = yn
F(n+1) - yF(n) = xn
以上两式相减得：
(x-y)F(n) = xn - yn
F(n) = (xn - yn)/(x-y) = {[(1+√5)/2]n-[(1-√5)/2] n}/√5
回答

斐泼那契数列的通项公式及证明斐波那契数列通项公式的证明斐波那契数列的通项公式是什么,及推导过程. 能否用归纳法证明斐波那契数列的通项公式?能否用归纳法证明谁会用数学归纳法证明斐波那契数列的通项公式用数学归纳法证明通项公式谁能证明斐波那契数列通项公式斐波那契数列（1,1,2,3,5,8,13,21,34,.）通项公式及前n项和公式是什么?重要的题给出斐波那契数列并讲述斐波那契数列的典故,写出斐波那契数列的通项公式. 求斐波那契数列通项公式数列通项公式及求和公式斐波那契数列通项公式, 斐波那契数列有没有通项公式裴波那契数列的通项公式?给个通项公式或递推公式斐波那契数列的通项公式怎么求求教斐波那契数列通项公式的推导（本人目前高一）斐波那契数列通项公式的几种求法斐波那契数列的通项公式用高中知识可以求吗? 怎样用特征方程法计算斐波那契数列的通项公式?