己知sinx+siny=1/3,求z=siny—cos^2 x的最大值.

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 18:37:12
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己知sinx+siny=1/3,求z=siny—cos^2 x的最大值.
己知sinx+siny=1/3,求z=siny—cos^2 x的最大值.

己知sinx+siny=1/3,求z=siny—cos^2 x的最大值.
sinx+siny=1/3
cosx + cosy dy/dx = 0
dy/dx = -cosx/cosy
z=siny-(cosx)^2
dz/dx = cosy dy/dx + 2cosxsinx
= -cosx + 2cosxsinx =0
cosx =0(max) or sinx = 1/2
max z = 4/3-0=4/3

siny=1/3-sinx
-1<=siny<=1
-1<=1/3-sinx<=1
-2/3<=sinx<=3/4
-1<=sinx<=1
-2/3<=sinx<=1
siny-(cosx)^2
=(sinx)^2-sinx-2/3
=(sinx-1/2)^2-11/12
对称轴sinx=1/2
-2/3<=sinx<=1
sinx=-2/3,最大值4/9

siny=1/3 -sinx
且-1≤siny≤1
-2/3≤sinx≤1
siny=1/3 -sinx
所以siny-(cosx)²
=(sinx-1/2)²- 11/12
-2/3≤sinx≤1，
当sinx=－2/3时，siny-(cosx)²有最大值为4/9

答案：25/12
因为siny=1/3-sinx,且cos^2 x=1-sin^2 x： z=1/3-sinx-1+sin^2 x=(sinx-1/2)^2-5/12，当sinx取-1时，有最大值：25/12

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