用数学归纳法证明2+2x3+2x3的平方+...+2x3的N-1次方=3的n次方-1

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/22 17:26:07
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用数学归纳法证明2+2x3+2x3的平方+...+2x3的N-1次方=3的n次方-1
用数学归纳法证明2+2x3+2x3的平方+...+2x3的N-1次方=3的n次方-1

用数学归纳法证明2+2x3+2x3的平方+...+2x3的N-1次方=3的n次方-1
1.n=1时 左边=2 右边=3-1=2 成立
2.设n=k时,等式成立 即2+2*3+2*3^2+...+2*3^(k-1)=3^k-1
3.n=k+1时,左边=3^k-1+2*3^k
=3*3^k-1
=3^(k+1)-1
右边=3^(k+1)-1
等号成立
得证

n=1 的时候显然成立。
假设n=k的时候成立
那么2+2x3+2x3的平方+...+2x3的k-1次方=3的k次方-1
n=k+1的时候
2+2x3+2x3的平方+...+2x3的k次方=
2+2x3+2x3的平方+...+2x3的k-1次方+2x3的k次方
=3的k次方-1+2x3的k次方
=3的k次方
得证喽!

原式=(3-1)+2*3+2*3^2+~~+2*3^n
=(3+2*3)+2*3^2+~~+2*3^n-1
=(3^2+2*3^2)+~~+2*3……n-1
=3^3+~~+2*3^n-1
=3^n-1
同理n+n*(n+1)+n*(n+1)^2+~~+n*(n+1)^(m-1)=n^m-1

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