设a∈(0,π/2),函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时,有f((x+y)/2)=f(x)*sinα+(1- sinα)*f(y),f(1/5)怎么求啊?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 02:25:16
设a∈(0,π/2),函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时,有f((x+y)/2)=f(x)*sinα+(1- sinα)*f(y),f(1/5)怎么求啊?
设a∈(0,π/2),函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时,有f((x+y)/2)=f(x)*sinα+(1- sinα)*f(y),f(1/5)怎么求啊?
设a∈(0,π/2),函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时,有f((x+y)/2)=f(x)*sinα+(1- sinα)*f(y),f(1/5)怎么求啊?
对f[(x+y)/2]=f(x)sinα+(1- sinα)f(y),
令x=1,y=0,得f(1/2)=sinα；
令x=1/2,y=0,得f(1/4)=sin²α；
令x=1,y=1/2,得f(3/4)=2 sinα-sin²α；
令x=3/4,y=1/4,得f(1/2)=3sin²α-2 sin³α；
两个f(1/2)相等,得sinα=3sin²α-2 sin³α,结合a∈(0,π/2)可解得sinα=1/2.
于是f[(x+y)/2]=[f(x)+f(y)]/2
在直角坐标系O一xy下,
令A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C((x1+x2)/2,f((x1+x2)/2)),
则有：向量OC=1/2*向量OA+1/2*向量OB,
可见,A、B、C三点共线.
注意到x、y是[0,1]内的任意实数,以及两点确定一条直线的性质可知,f(x)的图像为一条直线,
又f(0)=0,f(1)=1,由待定系数法可求得直线方程为y=x,所以,f(x)=x.
从而f(1/5)=1/5.
先确定Y值的区间，
可以这样，先设f(1/5)=m，根据f(1)和f(1/5)求出f(3/5)，再根据f(1)和f(3/5)求出f(4/5)。
然后根据f(0)和f(4/5)求出f(2/5)，最后f(0)和f(2/5)求出f(1/5)，这样可以列方程了。
估计能挺麻烦。
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