数学几何全等三角形问题如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.（1）求证：AE=CD（2）若AC=12cm,求BD的长

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/15 15:49:35

数学几何全等三角形问题如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.（1）求证：AE=CD（2）若AC=1

数学几何全等三角形问题如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.（1）求证：AE=CD（2）若AC=12cm,求BD的长
数学几何全等三角形问题
如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.
（1）求证：AE=CD
（2）若AC=12cm,求BD的长

数学几何全等三角形问题如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.（1）求证：AE=CD（2）若AC=12cm,求BD的长

考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）证两条线段相等,通常用全等,本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中,在这两个三角形中,已经有一组边相等,一组角相等了,因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．
（2）由（1）得BD=EC=
1
2
BC=
1
2
AC,且AC=12,即可求出BD的长．
（1）证明：∵DB⊥BC,CF⊥AE,
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°,
且BC=CA,
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD．

（2）由（1）得AE=CD,AC=BC,
∴△CDB≌△AEC（HL）,
∴BD=CE,
∵AE是BC边上的中线,
∴BD=EC=
1
2
BC=
1
2
AC,且AC=12cm．
∴BD=6cm．
点评：三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件．

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