三角形ABC内一点P,满足角PBA=角PCA,PM,PN分别垂直于AB,AC；点D为BC的中点.求证：DM=DN
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 06:01:39
三角形ABC内一点P,满足角PBA=角PCA,PM,PN分别垂直于AB,AC；点D为BC的中点.求证：DM=DN
三角形ABC内一点P,满足角PBA=角PCA,PM,PN分别垂直于AB,AC；点D为BC的中点.
求证：DM=DN
三角形ABC内一点P,满足角PBA=角PCA,PM,PN分别垂直于AB,AC；点D为BC的中点.求证：DM=DN
分别取BP, CP中点 E,F 直角三角形斜边中线定理 2ME=BP 2NF=CP 中位线定理2DE=CP 2DF=BP 得出 ME=DF NF=DE 平行线定理 角EPF分别与角DEP 角DFP互补 得出角DEP=角 DFP 角NFP=角MEB=2∠PBA(已知条件) 2边 一夹角 得出△MED≌△NFD DM=DN
连接AP，易证得三角形MAP全等于三角形APN(直角、公共斜边)，所以有MP=NP，角APM=角APN，连接PD，因为角APM=角APN，所以角MPD=角NPD，加上MP=NP，PD为公共边（两边一夹角），证得三角形MPD全等于三角形NPD,所以DM=DN三角形MAP全等于三角形APN？明显错误没错呀！！！一个直角，一个公共斜边，全等的条件够了！！！！学过几何没有，自己画画，能全等吗...
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连接AP，易证得三角形MAP全等于三角形APN(直角、公共斜边)，所以有MP=NP，角APM=角APN，连接PD，因为角APM=角APN，所以角MPD=角NPD，加上MP=NP，PD为公共边（两边一夹角），证得三角形MPD全等于三角形NPD,所以DM=DN
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证明，如图添加辅助线MN,BN, 点G是MN中点,点O是BN中点
连接GO,DO
在△PMB与△PCN中
∵∠PBA=∠PCA PM垂直AB PN垂直AC
∴△PMB∽△PCN
∴MB:MP=NC:NP
在△MBN中，GO是中位线
所以MB:GO=2：1
同理NC:DO=2：1
∴MB:GO=NC:DO
∵∠G...
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证明，如图添加辅助线MN,BN, 点G是MN中点,点O是BN中点
连接GO,DO
在△PMB与△PCN中
∵∠PBA=∠PCA PM垂直AB PN垂直AC
∴△PMB∽△PCN
∴MB:MP=NC:NP
在△MBN中，GO是中位线
所以MB:GO=2：1
同理NC:DO=2：1
∴MB:GO=NC:DO
∵∠GON=∠MBN
又∵∠DON=180°-∠CNO
∴∠DOG=180°-∠CNO+∠MBN
在四边形AMPN中
∠A+90°+90°+∠MPN=360°
∴∠MPN=180°-∠A=180°-（∠CNO-∠MBN）
∴∠MPN=∠DOG
因为对应边成比例，夹角相等
∴△MPN∽△GOD
∴∠PMN=∠OGD
∵OG//BM
∴∠OGN=∠BMG
∴∠DGN=∠OGN-∠OGD=∠BMG-∠PMN=90°
∴DG垂直MN.
又G是MN中点,
∴DM=DN
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首先连接ap
∵pm⊥ab，pn⊥ac，ap共边，∴△apm≌△apn，∴∠pab＝∠pac，am=an。
又∠pba=∠pca，∴∠bpa=∠cpa，
∵∠pab＝∠pac ap共边 ∠bpa=∠cpa
∴△apb≌△apc，∴
有ab=ac，∴∠abc=∠acb，
又am=an，∴bm=cn，d为bc的中点，bd=cd
由sa...
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首先连接ap
∵pm⊥ab，pn⊥ac，ap共边，∴△apm≌△apn，∴∠pab＝∠pac，am=an。
又∠pba=∠pca，∴∠bpa=∠cpa，
∵∠pab＝∠pac ap共边 ∠bpa=∠cpa
∴△apb≌△apc，∴
有ab=ac，∴∠abc=∠acb，
又am=an，∴bm=cn，d为bc的中点，bd=cd
由sas可知，△mbd≌△ncd
∴dm=dn
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