如图,P为等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=2倍根号3,PC=4,求∠APC

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/28 13:30:54

如图,P为等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=2倍根号3,PC=4,求∠APC如图,P为等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=2倍根号3,PC=4,求∠APC如图,P为等边三角形ABC内一点,P

如图,P为等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=2倍根号3,PC=4,求∠APC
如图,P为等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=2倍根号3,PC=4,求∠APC

如图,P为等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=2倍根号3,PC=4,求∠APC
设等边三角形ABC边长为a,由余弦定理得：a²=PA²+PC²-2PAPCcos∠APC,a²=4+16-16cos∠APC,同理得：a²=4+12-8√3cos∠APB,a²=12+16-16√3cos(2π-∠APC-∠APB),cos∠APC=(20-a²)/16,sin∠APC=√[40a²-a^4-144]/16,cos∠APB=(16-a²)/(8√3),sin∠APB=√[32a²-a^4-64]/(8√3),带入cos(∠APC+∠APB)=(28-a²)/(16√3),得：(96-28a²+a^4)²=(40a²-a^4-144)(32a²-a^4-64),整理得：a^4-32a²-112=0,a²=28或a²=4,∵PA+a=2+a＞PC,a＞2,∴a²=4舍去,取a²=28,cos∠APC=(20-a²)/16=-1/2,∠APC=120°.
另外,把△APC逆时针旋转60°AC边与AB边重合,形成△AP'B,PB'=PC=4,∠P'AP=60°,P'A=PA=2,则△P'AP为等边△,∠AP'P=60°,P'P=2,在△BP'P中由余弦定理得：PB²=P'B²+P'P²-2P'BP'Pcos∠BP'P,12=16+4-16cos∠BP'P,cos∠BP'P=1/2,∠BP'P=60°,∠APC=∠AP'B=∠AP'P+∠BP'P=60°+60°=120°.

120度。
你可以平移两边，构成平行四边形做。