已知等差数列an=2n-1 则求不等式(1+1/a1)*(1+1/a2)*.*(1+1/an) >=p*二次根号(2n-1)对一切n为整数均成立的最大实数p
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/29 11:28:52
已知等差数列an=2n-1 则求不等式(1+1/a1)*(1+1/a2)*.*(1+1/an) >=p*二次根号(2n-1)对一切n为整数均成立的最大实数p
已知等差数列an=2n-1 则求不等式(1+1/a1)*(1+1/a2)*.*(1+1/an) >=p*二次根号(2n-1)对一切n为整数
均成立的最大实数p
已知等差数列an=2n-1 则求不等式(1+1/a1)*(1+1/a2)*.*(1+1/an) >=p*二次根号(2n-1)对一切n为整数均成立的最大实数p
(1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)≥p√(2n+1)
要求p的最大值,即是求[(1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)]/√(2n+1)的最小值
设函数f(n)=[(1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)]/√(2n+1)
则 f(n+1)=[(1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)(1+1/a(n+1)]/√(2n+3)
f(n)所有项都是正数
用f(n+1)/f(n)=[1+1/a(n+1)] * √(2n+1) / √(2n+3)
=[1+1/(2n+1)] * √(2n+1) / √(2n+3)
=[(2n+2)/(2n+1)] * √(2n+1) / √(2n+3)
=√{[(2n+2)^2]/[(2n+1)*(2n+3)]}
显然(2n+2)^2>(2n+1)*(2n+3) (作差即可得出)
所以√{[(2n+2)^2]/[(2n+1)*(2n+3)]}>1
所以f(n+1)/f(n)>1
f(n+1)>f(n)
即此函数递增,最小值为f(1)=2/√3=2√3/3
最大实数p=2√3/3.