数学数列递推与通项公式联系问大家一个题,希望大家能按照标准步骤,清楚地帮我解答!不要光写其所然,要写出其所以然哈!已知a1=7/6 a(n+1)=1/2an+1/3 求{an}的通项公式!如果不仅仅解出这个题,还

数学数列递推与通项公式联系问大家一个题,希望大家能按照标准步骤,清楚地帮我解答!不要光写其所然,要写出其所以然哈!已知a1=7/6 a(n+1)=1/2an+1/3 求{an}的通项公式!如果不仅仅解出这个题,还
数学数列递推与通项公式联系
问大家一个题,希望大家能按照标准步骤,清楚地帮我解答!不要光写其所然,要写出其所以然哈!
已知a1=7/6 a(n+1)=1/2an+1/3 求{an}的通项公式!如果不仅仅解出这个题,还能给出一些数学数列中由递推公式求通项公式的注意事项,解析,例题等等.更好（加分到200）!一定要让我看的懂哦.

数学数列递推与通项公式联系问大家一个题,希望大家能按照标准步骤,清楚地帮我解答!不要光写其所然,要写出其所以然哈!已知a1=7/6 a(n+1)=1/2an+1/3 求{an}的通项公式!如果不仅仅解出这个题,还
a(n+1)=1/2an+1/3
我们把它弄成等比数列
然后a(n+1)-2/3=1/2(an-2/3)
所以{an-2/3}是公比=1/2的等比数列 首项为7/6-2/3=1/2
所以{an}=1/2^(n)+2/3

a(n+1)=1/2an+1/3
设a(n+1)+k=1/2(an+k)
a(n+1)=1/2an-1/2*k
-1/2*k=1/3
所以k=-2/3
所以a(n+1)-2/3=1/2(an-2/3)
所以a(n)-2/3是等比数列，公比为1/2，首项为a1-2/3=1/2
所以a(n)-1/3=1/2 * (1/2)^(n-1)=1/2^n
所以a(n)=1/2^n + 2/3

两边同时减去2/3 ，a(n+1)-2/3=1/2an-1/3,则a(n+1)-2/3=1/2*(an-2/3),所以{an-2/3}为等比数列，所以an-2/3=(a1-2/3)*1/2^(n-1),化简得an=1/2^n +2/3

用待定系数法，设an(n+1)+p=1/2(an+p),然后展开，求出p，所以an+p为等比数列，剩下的你应该能解决。
然后给你几种经典类型。高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型1...

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用待定系数法，设an(n+1)+p=1/2(an+p),然后展开，求出p，所以an+p为等比数列，剩下的你应该能解决。
然后给你几种经典类型。高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型1
解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列 满足 ， ，求 。
由条件知：
分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即

所以
，
变式:（2004，全国I，个理22．本小题满分14分）
已知数列 ，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
（I）求a3, a5；
（II）求{ an}的通项公式.
，
，即
，

…… ……

将以上k个式子相加，得

将 代入，得
，
。
经检验 也适合，
类型2
解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列 满足 ， ，求 。
由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即

又 ，
例:已知 ， ，求 。

。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项
由已知，得 ，用此式减去已知式，得
当 时， ，即 ，又 ，
，将以上n个式子相乘，得
类型3 （其中p，q均为常数， ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列 中， ， ，求 .
设递推公式 可以转化为 即 .故递推公式为 ,令 ，则 ,且 .所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，则 ,所以 .
变式:（2006，重庆,文,14）
在数列 中，若 ，则该数列的通项 _______________
（key: ）
变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）
已知数列 满足
（I）求数列 的通项公式；
（II）若数列{bn}满足 证明：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）证明：
（I）

是以 为首项，2为公比的等比数列

即
（II）证法一：

①
②
②－①，得
即

③－④，得
即

是等差数列
证法二：同证法一，得

令 得
设 下面用数学归纳法证明
（1）当 时，等式成立
（2）假设当 时， 那么

这就是说，当 时，等式也成立
根据（1）和（2），可知 对任何 都成立
是等差数列
（III）证明：




变式:递推式： 。解法：只需构造数列 ，消去 带来的差异．
类型4 （其中p，q均为常数， ）。 （或 ,其中p，q, r均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ），得： 再待定系数法解决。
例:已知数列 中， , ，求 。
在 两边乘以 得：
令 ，则 ,解之得：
所以
变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）
设数列 的前 项的和 ，
（Ⅰ）求首项 与通项 ；（Ⅱ）设 ， ，证明：
（I）当 时， ；
当 时， ，即 ，利用 （其中p，q均为常数， ）。 （或 ,其中p，q, r均为常数）的方法，解之得：
(Ⅱ)将 代入①得 Sn= 43×(4n－2n)－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2)
= 23×(2n+1－1)(2n－1)
Tn= 2nSn = 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n－1 － 12n+1－1)
所以, = 32 12i－1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 32
类型5 递推公式为 （其中p，q均为常数）。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为
其中s，t满足
解法二(特征根法)：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，叫做数列 的特征方程。若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）；当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）。
解法一（待定系数——迭加法）:
数列 ： ， ，求数列 的通项公式。
由 ，得
，
且 。
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，于是
。把 代入，得
，
，
，

。
把以上各式相加，得
。
。
解法二（特征根法）：数列 ： ， 的特征方程是： 。
,
。
又由 ，于是

故
例:已知数列 中， , , ，求 。
由 可转化为
即 或
这里不妨选用 （当然也可选用 ，大家可以试一试），则 是以首项为 ，公比为 的等比数列,所以 ,应用类型1的方法，分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即
又 ，所以 。
变式:（2006，福建,文,22,本小题满分14分）
已知数列 满足
（I）证明：数列 是等比数列；
（II）求数列 的通项公式；
（III）若数列 满足 证明 是等差数列
（I）证明：

是以 为首项，2为公比的等比数列
（II）由（I）得


（III）证明：

①
②
②－①，得
即 ③
④
④－③，得
即

是等差数列
类型6 递推公式为 与 的关系式。(或 )
解法：这种类型一般利用 与 消去 或与 消去 进行求解。
例：已知数列 前n项和 .
（1）求 与 的关系；（2）求通项公式 .
（1）由 得：
于是
所以 .
（2）应用类型4（ （其中p，q均为常数， ））的方法，上式两边同乘以 得：
由 .于是数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
变式:（2006，陕西,理,20 本小题满分12分)
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an
解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3
变式: (2005,江西,文,22．本小题满分14分）
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式.
，
，两边同乘以 ，可得

令


…… ……



又 ， ，
，
。

类型7
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 ,从而转化为 是公比为 的等比数列。
例:设数列 ： ，求 .
设 ，将 代入递推式，得


…（1）则 ,又 ，故 代入（1）得
说明：（1）若 为 的二次式，则可设 ;(2)本题也可由 , （ ）两式相减得 转化为 求之.
变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）
已知数列｛ ｝中， 在直线y=x上，其中n=1,2,3…
(Ⅰ)令
(Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设 的前n项和,是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，试求出 若不存在,则说明理由
（I）由已知得

又


是以 为首项，以 为公比的等比数列
（II）由（I）知，





将以上各式相加得：


（III）解法一：
存在 ，使数列 是等差数列




数列 是等差数列的充要条件是 、 是常数
即
又

当且仅当 ，即 时，数列 为等差数列
解法二：
存在 ，使数列 是等差数列
由（I）、（II）知，



又

当且仅当 时，数列 是等差数列
类型8
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。
例：已知数列｛ ｝中， ，求数列
由 两边取对数得 ，
令 ，则 ，再利用待定系数法解得： 。
变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）
已知数列
（1）证明
（2）求数列 的通项公式an.
用数学归纳法并结合函数 的单调性证明：
（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有
则

而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立，
令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设
有： 即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）解法一：
所以
,
又bn=－1，所以
解法二：

由（I）知， ，两边取以2为底的对数，

令 ,则
或
变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）
已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
（1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
记bn= ，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+ =1
（Ⅰ）由已知 ，


，两边取对数得
，
即
是公比为2的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
（*）


=
由（*）式得
（Ⅲ） ， ，
，又 ，


，又 ，
类型9
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 。
例：已知数列｛an｝满足： ，求数列｛an｝的通项公式。
取倒数：
是等差数列，
变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）
已知数列｛an｝满足：a1＝ ，且an＝
（1） 求数列｛an｝的通项公式；
（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·……an<2·n！
（1）将条件变为：1－ ＝ ，因此｛1－ ｝为一个等比数列，其首项为
1－ ＝ ，公比 ，从而1－ ＝ ，据此得an＝ （n³1）…………1°
（2）证：据1°得，a1·a2·…an＝
为证a1·a2·……an<2·n！
只要证nÎN*时有 > …………2°
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nÎN*，有
³1－（ ）…………3°
用数学归纳法证明3°式：
（i） n＝1时，3°式显然成立，
（ii） 设n＝k时，3°式成立，
即 ³1－（ ）
则当n＝k＋1时，
³〔1－（ ）〕·（ ）
＝1－（ ）－ ＋ （ ）
³1－（ ＋ ）即当n＝k＋1时，3°式也成立
故对一切nÎN*，3°式都成立
利用3°得，
³1－（ ）＝1－
＝1－ >
故2°式成立，从而结论成立
类型10
解法：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中p、q、r、h均为常数，且 ），那么，可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,则 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 、 时，则 是等比数列。
例：已知数列 满足性质：对于 且 求 的通项公式.
解: 数列 的特征方程为 变形得 其根为 故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有

∴
∴
即
例：已知数列 满足：对于 都有
（1）若 求 （2）若 求 （3）若 求
（4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？
作特征方程 变形得
特征方程有两个相同的特征根 依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵ 对于 都有
(2)∵
∴


令 ，得 .故数列 从第5项开始都不存在，
当 ≤4， 时， .
(3)∵ ∴
∴
令 则 ∴对于
∴
(4)、显然当 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知， 时，数列 是存在的，当 时，则有 令 则得 且 ≥2.
∴当 （其中 且N≥2）时，数列 从第 项开始便不存在.
于是知：当 在集合 或 且 ≥2}上取值时，无穷数列 都不存在.
变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）
数列 记
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列 的通项公式及数列 的前n项和
解法一：由已知,得 ,其特征方程为 解之得, 或
,
,

解法二：
（I）



（II）因 ，

故猜想
因 ，（否则将 代入递推公式会导致矛盾）

故 的等比数列.
,


解法三：
（Ⅰ）由
整理得

（Ⅱ）由
所以




解法四：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）






从而




类型11 或
解法：这种类型一般可转化为 与 是等差或等比数列求解。
例：（I）在数列 中， ，求
（II）在数列 中， ，求
类型12 归纳猜想法
解法：数学归纳法
变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）
设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…
（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）｛an｝的通项公式
提示:1 为方程的根,代入方程可得
将n=1和n=2代入上式可得
2 求出 等,可猜想 并用数学归纳法进行证明，本题主要考察 一般数列的通项公式与求和公式间的关系
3 方程的根的意义(根代入方程成立)
4 数学归纳法证明数列的通项公式(也可以把 分开为 ,可得
(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝12
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－12，
于是(a2－12)2－a2(a2－12)－a2＝0，解得a1＝16
(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
即 Sn2－2Sn＋1－anSn＝0
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①
由(Ⅰ)知S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23
由①可得S3＝34
由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1，2，3，… ……8分
下面用数学归纳法证明这个结论
(i)n＝1时已知结论成立
(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝kk＋1，
当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝12－Sk，即Sk＋1＝k＋1k＋2，
故n＝k＋1时结论也成立
综上，由(i)、(ii)可知Sn＝nn＋1对所有正整数n都成立 ……10分
于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nn＋1－n－1n＝1n(n＋1)，
又n＝1时，a1＝12＝11×2，所以
｛an｝的通项公式an＝nn＋1，n＝1，2，3，… ……12分
本题难度较大,不过计算较易,数列的前面一些项的关系也比较容易发现
类型13双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例：已知数列 中， ；数列 中， 。当 时， , ，求 , .
因
所以
即 …………………………………………（1）
又因为
所以 ……
.即 ………………………（2）
由（1）、（2）得： ，
类型14周期型
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例：若数列 满足 ，若 ，则 的值为___________。
变式:（2005，湖南,文，5）
已知数列 满足 ，则 = （ ）
A．0 B． C． D．

收起

求an，先求数列an+k
因为类似a(n+1)=1/2an+1/3 的式子，都暗含这新的特殊数列，而且一般为等比，多做就知道了
求法设a(n+1)+k=1/2（an+k）
a(n+1)=1/2an+1/3
所以有1/2an+1/3+k=1/2（an+k）
解得k=-2/3
所以a（n+1）-2/3）/（an-2/3）=1/2
所以数列an-2...

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求an，先求数列an+k
因为类似a(n+1)=1/2an+1/3 的式子，都暗含这新的特殊数列，而且一般为等比，多做就知道了
求法设a(n+1)+k=1/2（an+k）
a(n+1)=1/2an+1/3
所以有1/2an+1/3+k=1/2（an+k）
解得k=-2/3
所以a（n+1）-2/3）/（an-2/3）=1/2
所以数列an-2/3为公比=1/2的等比数列
an-2/3=（a1-2/3）/2^(n-1)
代入a1得an-2/3=1/2^n
an=1/2^n +2/3
懂了吗？
希望对你有帮助！

收起

a(n＋1）＝p×an＋q，其中p，q为常数。这类的题目都是通过构造等比数列来完成。
设a（n+1)+r=1/2(an+r), 得r＝-2/3，即原式可变为
a（n＋1）-2/3＝1/2（an-2/3), 即数列an—2/3是一个公比p＝1/2，首项为a1-2/3＝1/2的数列。
即an-2/3＝1/2×（1/2的n-1次方），得an＝2/3＋1/2的n次方...

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a(n＋1）＝p×an＋q，其中p，q为常数。这类的题目都是通过构造等比数列来完成。
设a（n+1)+r=1/2(an+r), 得r＝-2/3，即原式可变为
a（n＋1）-2/3＝1/2（an-2/3), 即数列an—2/3是一个公比p＝1/2，首项为a1-2/3＝1/2的数列。
即an-2/3＝1/2×（1/2的n-1次方），得an＝2/3＋1/2的n次方

收起

根据你说的这个递推式，可以知道这是一个典型的An+b=c类题(我把a换成A了，看得清楚点)
即把A(n+1)=1/2An+1/3
转化成An+b=c的等比数列的形式
具体过程如下：
设A(n+1)+X=1/2(An+X)
展开得：A(n+1)=1/2An-1/2X
对比原式可得：-1/2X=1/3
即...

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根据你说的这个递推式，可以知道这是一个典型的An+b=c类题(我把a换成A了，看得清楚点)
即把A(n+1)=1/2An+1/3
转化成An+b=c的等比数列的形式
具体过程如下：
设A(n+1)+X=1/2(An+X)
展开得：A(n+1)=1/2An-1/2X
对比原式可得：-1/2X=1/3
即X=-2/3
则A(n+1)-2/3=1/2(An-2/3)~Ps:“等比数列”
则An-2/3=(A1-2/3)*q^(n-1)
=(7/6-2/3)*(1/2)^(n-1)
则An=<(1/2)^n>+2/3
“^”符号是“几次方”的意思
这是个很简单常见的题型，建议你去查阅一下数列专题的书，里面会提到各种题型的。

收起

在这上面打的话会很麻烦的，如果你想彻底解决这个问题，加我的QQ370043082，不过你要说明来意，不然我不加你，保证你会对我的文件满意的，赏分我是不会在意的，我不是为赏分而来。。。。。。哈哈。。。。。。数学是我的喜好

网上搜索“递推式与通项公式”会有很多的！

我觉得我的做法你可以当经典例题背,不过还是要理解,不明白问我
a1=7/6,a(n+1)=1/2an+1/3
构造法
a(n+1)+r=1/2*(an+r)
由对应系数相等
r=-2/3
a(n+1)-2/3=1/2*(an-2/3)=1/2^n*(a1-2/3)=1/2^(n+1)
(构造等比数列,利用等比数列求解)
a(n+1)...

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我觉得我的做法你可以当经典例题背,不过还是要理解,不明白问我
a1=7/6,a(n+1)=1/2an+1/3
构造法
a(n+1)+r=1/2*(an+r)
由对应系数相等
r=-2/3
a(n+1)-2/3=1/2*(an-2/3)=1/2^n*(a1-2/3)=1/2^(n+1)
(构造等比数列,利用等比数列求解)
a(n+1)=1/2^(n+1)+2/3
所以an=1/2^(n+1)+2/3
猜想归纳法
a1=7/6
a2=1/2*7/6+1/3=11/12
a3=1/2*(11/12)+1/3=19/24
a4=1/2*(19/24)+1/3=35/48
a2-a1=-1/4
a3-a2=-1/8
a4-a3=-1/16
我们发现,两个式子的差成等比数列,首项为-1/4,公比为1/2
我们继续写这个式子
....
a(n-1)-a(n-2)=-1/4*(1/2)^(n-3)
an-a(n-1)=-1/4*(1/2)^(n-2)
全部相加用等比数列求和,得到和上面解法一样的结果
an=1/2^(n+1)+2/3
a1=7/6 a(n+1)=1/2an+1/3
a(n+1)=1/2an+1/3 ,所以an=1/2*a(n-1)+1/3
两式相减
a(n+1)-an=1/2*[an-a(n-1)]=1/2^(n-1)*(a2-a1)
所以an-a(n-1)=1/2^(n-2)*(a2-a1)
a(n-1)-a(n-2)=1/2^(n-3)*(a2-a1)
....
a3-a2=1/2^(a2-a1)
上式全部相加,将a2,a1分别代入得
an=1/2^(n+1)+2/3

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