问一道关于数列的题已知有穷数列{an}：1,12,123,1234,12345,.,123456789.1、求数列{an}的递推公式2、设bn=a(n+1)-an,试写出数列{bn}的前四项,并写出数列{an}的一个通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 16:42:37
问一道关于数列的题已知有穷数列{an}：1,12,123,1234,12345,.,123456789.1、求数列{an}的递推公式2、设bn=a(n+1)-an,试写出数列{bn}的前四项,并写出数列{an}的一个通项公式
问一道关于数列的题
已知有穷数列{an}：1,12,123,1234,12345,.,123456789.
1、求数列{an}的递推公式
2、设bn=a(n+1)-an,试写出数列{bn}的前四项,并写出数列{an}的一个通项公式
问一道关于数列的题已知有穷数列{an}：1,12,123,1234,12345,.,123456789.1、求数列{an}的递推公式2、设bn=a(n+1)-an,试写出数列{bn}的前四项,并写出数列{an}的一个通项公式
1、因为是有穷数列,观测数列得知：每个数的个位就是其项数,且后一个数是前一数的10倍再加其项数,据此a(n+1)=10an+(n+1),n=1,2,...,9.
2、易求得：
b1=11；
b2=111=11*10+1=10b1+1,
b3=1111=111*10+1=10b2+1,
b4=11111=1111*10+1=10b3+1.
因为是有穷数列,易得b(n+1)=10bn+1(n=1,2,..,9),下面凑等比数列,假设存在常数k使得b(n+1)+k=10(bn+k),化简得b(n+1)=10bn+9k,对比bn的递推公式,得k=1/9,因此[b(n+1)+1/9]/(bn+1/9)=10,因此bn+1/9是首项为b1+1/9=100/9,公比为10的等比数列,
于是bn+1/9=(100/9)*10^(n-1)=(1/9)*10^(n+1),所以bn=(1/9)*[10^(n+1)-1].
根据题意bn=a(n+1)-an=[10an+(n+1)]-an=9an+n+1=(1/9)*[10^(n+1)-1].即：9an+n+1=(1/9)*[10^(n+1)-1],进一步化简,得：an=(1/81)*[10^(n+1)-1]-(1/9)*(n+1).
所以an=(1/81)*[10^(n+1)-1]-(1/9)*(n+1),n=1,2,...,9.
An=123……（n-1)n
1.
数列{An}的递推公式可能有很多种
A1=1
A(n+1)=10×A(n)+(n+1)
2.
B1=12-1=11
B2=123-12=111
B3=1234-123=1111
B4=12345-1234=11111
{An}是数列{Bn}的前n-1项和加1
Bn=(10^(n+1)-1)/9
An=10/9×((1-10^n)/(1-10)-n/9
=(10^(n+1)-9n-10)/81
图片
1、a(n+1)=10a(n)+n+1
2、b1=11,b2=111,b3=1111,b4=11111
那是求{an}的通项公式？那可麻烦了……不过{bn}就好做多了。b（n)=(10^(n+1)-1)/9。抱歉只能帮你这么多了！