奥数题1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...+(1+3+5+7+...+197+199)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 03:26:34
奥数题1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...+(1+3+5+7+...+197+199)
奥数题1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...+(1+3+5+7+...+197+199)
奥数题1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...+(1+3+5+7+...+197+199)
第一种方法：
1+3=2^2
1+3+5=3^2
1+3+5+7=4^2
1+3+5+7+9=5^2
……
1+3+5+……（2n+1）=(n+1)^2利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
带入上式可得：=1/6×100×101×201=338350
第二种方法：
S1=1
S2=1+（1+3）
S3=1+(1+3)+(1+3+5)
......
S50=1+(1+3)+(1+3+5)+……+(1+3+5+7+……+99)
则S50-S49=1+3+5+7+……+99=（1+99）*50/2
S49-S48=1+3+5+7+……+97=（1+97）*49/2 （不用算出来）
......
最后一个S3-S1=3
把上面的式子加起来得S50-S49+S49-S48+.+S2-S1=S50-S1=（1+99）*50/2-1
S=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+.+n^2
现套用如下式:
2^3-1^3=3*1^2+ 3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+ 3*2+1
4^3-3^3=3*3^2+ 3*3+1
.
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
将上式相加得:
(n+1)^3-1=3*S+3*n*(n+1)/2+n
化简得s=(2n+1)(n+1)n/6
你好
可以发现1=1²
1+3=2²
1+3+5=3²
1+3+5+7=4²
……
1+3+5+7……+197+199=[（1+199）/2]²=100²
根据平方和求和公式1²+2²+3²……+n²=1/6n(n+1)(2n+1)
得原式=1/6×100×101×201=338350
回答完毕
数列 求```